DISCUSSION DES LIGNES DU PREMIER ORDRE

108. Les lignes du premier ordre sont représentées par une équation du premier degré à deux indéterminées (86). La forme générale d'une pareille équation est

Ar+B.r+C=0 « [1];

ainsi , il s’agit de reconnaître quelle est la nature et la forme ^de la ligne ou des lignes que cette équation peut représenter.

D’abord, si l’un des coefficients A ou B est nul, on sait que le lieu de l'équation [1 ] est une parallèle menée à l’axe des y ou

à celui des a: à la distance — 5ou — - de cet axe (53). Nous

supposerons donc que ni A ni B ne soient nuis, et alors nous pourrons résoudre l’équation [I] par rapport à l une des deux variables, y par exemple, ce qui donnera

yz=ax-\-b

en faisant, pour abréger,

— -r— a et

Cela posé, on voit immédiatement, à l’inspection de cette Fig. 46. formule, que si l’on tire unç parallèle BR à l’axe desx, à la distance OB=£ de cet axe, il suffira, pour obtenir tous les points de la ligne qu’elle représente, d’ajouter à l’ordonnée de chaque point de cette parallèle le produit de l’abscisse correspondante par le nombre constant a, en ayant égard aux signes des deux facteurs de ce produit. Si donc on prend sur l’axe des x les abscisses quelconques OP, OP7, OP77..., et qu’ayant mené par les points P, F, P"..., des parallèles à l’axe des T-, on porte sur ces droites , et à partir de BR, des quantités MQ,

MQ7, M77Q". . . , respectivement égales à a. OP, «.OP7, a. OP77. . . , les points M, M7, M77..., ainsi déterminés, appartiendront au

lieu demandé. Comme les rapports sont

194 GÉOMÉTRIE ASALYTIQBB.

égaux à a, et par eonsécpient égaux entre eux, on voit que les triangles BMQ, lï.MQ', BMr,Qv... sont semblables et que les angles en B étant ainsi égaux, les points M, M', .. sont en

ligne droite avec le point B, qui est le point oîi le lieu cherché cou pe l’axe des y, puiscpi’en faisant .r=0 dpns [2], il en résulte y=b. Donc t équation [2] représente une ligne droite qui coupe l'axe des y à la distance b de l’origine.

Cette constante b se nomme en conséquence [ordonnée à [ origine .

En répétant ici ce que nous avons dit au n° 7«>, on verra que la constante a est égale au rapport des sinus des angles que fait ta droite arec !' axe des x et avec celui des y. Donc, si les axes des coordonnées sont rectangulaires, la constante a sera la tangente trigonométrique de l’angle que la droitè fait avec l’axe des abscisses.

Par opposition avec la constante b qui est linéaire , cette constante a se nomme le coefficient angulaire ou d’ inclinaison de la droite représentée par l’équation [2]. ♦ »

109. Si C=0, on a ô=0 : alors le lieu de l’équation [2], qui se réduit à

y=cix . [3],

passe par l’origine, et la constante a conserve la même signification que précédemment. Donc, quand [ équation du premier degré à deux indéterminées n’a pas de terme indépendant de ces variables , elle représente une droite qui passe par l'origine des coordonnées.

1 10. Si B=0, on a a— 0, et par conséquent sina=0, d’où a— 0' ou «=180“ : ainsi la droite, représentée par l’équation [2], est parallèle à l’axe des x , et en est distante de

la quantité b— — -, ce qui est conforme avec ce qui précède (108).

111. Si A=0, on a b— oo et a— co , d’où *==6, ce qui indique que la droite est parallèle à l'axe des^\ D’un autre côté, le lieu de l'équation [2] coupe, l’axe des a; à la

distance — ^de l’origine, comme on le voit en faisant dans cette équation r=0 ; mais = = — - ; donc

DE tA LIGNE DROITE.

cette parallèle'^ l’axe des^-en est distante de la quantité — -.

Nous avons vu, en effet, que, quand A=0, l’équation [1] représente une pareille droite (108); donc l’équation [2] convient au cas où a et b sont infinis. Cette vérification était nécessaire; car la construction du n° 108 ne pouvant être exécutée dans le cas actuel , on ne savait point ce que cette équation représentait alors.

Au reste, la droite qui a pour équation x— — ^ est la limite des positions successives que prend le lieu de l’équation [2], lorsqu’on suppose que a et b augmentait indéfiniment, tout en conservant le même rapport, de manière à Revenir infinis en même temps.

112. On voit donc que l’équation [2] est aussi générale que l’équation [I], quoiqu’on l’en ait déduite, en supposant que A ne fût pas nul. Seulement, pour trouver ce qu elle représente qu&ud h et b deviennent infinis, il faut la diviser par a, avant d’y* introduire ces hypothèses, et remplacer en- ,

suite le rapport ^ par sa limite, qui doit être alors donnée par

la question que l’on traite.

113. Pour construire le lieu de l’équation [1], on déterminera deux points de sa direction en choisissant, pour plus de simplicité^ ceux où il rencontre chacun des deux axes.

Ainsi on fera successivement

x—0, ce qui donnera /=■ — j,

et . jr= 0, X— gi

puis on prendra sur l’axedes ordonnéesunt distance OB= — -, B*. 4fi-

sur celui des abscisses une distance OA = — - , et en tirant

une droite indéfinie par les points A et B, le lieu sera construit.

114. Si l’équation proposée n’a pas de terme indépendant, on n’aura à déterminer qu’un seul des points de son lieu, puisqu’on sait qu’il passe par l’origine; en conséquence, on fera x égal au coefficient A dej', et il en résultera>/= — -B.

On construira donc le point (A, —B), et en le joignant à l’ori-

gine pnr une droite indéfinie, on aura le lieu de l’e'quation

Ay-{- B.r=0.

4 48. Li vérité de la réciproque du théorème que nous avons établi au n° 408, c'est-à-dire que V équation d'une ligne droite est nécessairement du premierydegré à une ou à deux variables , résulte immédiatement de la solution du problème du n° 73 ; mais on peut encore l’établir, en prouvât que l'équation [2] est susceptible de représenter toute droite tracée sur le plan des axes. En effet si, en laissant a constant nous faisons varier b depuis — oo jusqu’à — (— oc , il est clair que la droite, en glissant parallèlement à elle-même , décrira le filan tout entier. Si, au contraire, b restant constant, nous faisons varier l’angle « depuis 0° jusqu’à 180e, ce qui revient à faire varier a depuis zéro jusqu’à -{- oo et jusqu’à — oo , la droite, représentée par l’équation [2], prendra toutes les positions possibles autour du point B; donc, en donnant des valeurs convenables à a et à b , on fera coïncider le lieu de l’équation y—ax-\-b avec toute frotte tracée sur le plan ; donc cette équation représentera cette droite.

1 18. L’équation générale d’une ligne droite renfermant deux indéterminées, et cette droite pouvant être construite quand ces deux indéterminées sont connues, on voit que deux conditions sont nécessaires et suffisantes pour déterminer une ligne droite.

La recherche des quantités a et b, d’après ïes conditions données et la combinaison des lignes que représente l’équation

y=ax-\-b,

conduisent à différents problèmes dont il est très-important de retenir les solutions; car on y a sans cesse recoure, lorsque l’on veut appliquer l’analyse à toute question de géométrie élémentaire ou générale.

417. Problème. Trouver l’équation d’une ligne droite assujettie à passer par deux points donnés.

Soient (.r , y’) et (a/', y") les coordonnées des deux points donnés : l’équation de la droite demandée est de la forme (113)

y—ax-\-b [2],

a et b étant deux indéterminées dont il s’agit de trouver les

valeurs, d’après les conditions de la question. Or, si nous voulons d’abord exprimer que la droite passe par le premier point, il faudra écrire que les coordonnées x1 et ÿ de ce point satisfont à l’équation de cette droite} nous aurons ainsi

Le système des équations [2] et [4] représente une droite qui passe par le point ( ’pê , y1); mais nous pouvons exprimer la même chose par une seule équation; car, si nous substituons dans [2], au lieu de a ou de b sa valeur tirée de [4], nous aurons évidemment écrit dans la première de ces équations la condition exprimée par la seconde. Or, ce calcul revient à éliminer a ou b entre elles; et comme l’élimination de b se fait par une simple soustraction, c’est celle-là que nous effectuerons. Il viendra ainsi

équation générale de toute droite assujettie à passer par le point (a/, y')\ car a étant encore indéterminé, cette équation peut représenter telle droite que l’on voudra mener par ce point. (La forme de l’équation [5] doit être retenue avec soin.)

Exprimons maintenant que la droite demandée passe par le second point y1'). Il suflira, pour cela, d’écrire que ses coordonnées vérifient l’équation [5] , ce qui donnera

d’où «=£=£.

Si l’on substitue cette valeur dans [5] , on y exprimera que son lieu passe par le point {x11, y")', et comme il passe déjà par le point (x, y3'), il ne sera autre que la droite demandée. Donc l’équation de cette droite est *

jr-/=ÿE7(’r-*r) Kl’

Il est facile de vérifier que cette équation résout la question ; car elle est satisfaite, si l’on y remplace x et ^respectivement par a/ et par^J, ou par x1 et par yJl.

Si l’on suppose yJ'=y1^ l’équation [0] se réduit à

équation d’une parallèle à l’axe des x ; et, en effet, les deux

points donnés, ayant la même ordonnée, sont ainsi équidistants de l’axe des abscisses,

Si xl,=x,t le coefficient de x devient infini, ce qui nous indique que l'angle a est égal à celui dçs axes, et qu’ainsi l’équation [6] représente alors une parallèle à l’axe des^. Pour déterminer cette parallèle, nous allons chercher le point où elle coupe l’axe des abscisses , et , pour cela , nous ferons ^-=0 dans [6], mais avant d’y introduire l’hypothèse si'zsssi nous trouverons ainsi

pour l’abscisse de ce point. Supposons maintenant x"=xl, sa valeur se réduira à

x—oi.

comme cela devait être, puisque par hypothèse notre parallèle passe par deux points situés l’un et l’autre à la distance si de l’axe des^.

Remarquons qu’en vertu de la valeur trouvée plus haut pour a ,

le coefficient angulaire d’une droite assujettie à passer par deux points est égal au rapport de la différence de leurs ordonnées à la différence de leurs abscisses.

118. Si l’un des points coïncide avec l’origine, j" = 0, si'—Q , et alors l’équation [G] se réduit à

Ainsi, V équation de la droite , qui joint un point donné à l’origine, se forme en égalant t'ordonnée courante au proi duit de l’abscisse correspondante , multipliée par le rapport de l’ordonnée du point donné à son abscisse.

119. Si l’on suppose p'—Q et si'=Q, l’équation [G] se réduira à

équation remarquable par sa forme symétrique, et qui.re-

présente une droite déterminée par les coordonnées x! et yn des points où elle coupe les axes des x et des y.

120. Problème. Étant données les équations de trois droites, trouver les relations qui doivent exister entre leurs coefficients pour que ces droites concourent en un même point.

Soient

y—axf-b, y=dx-\-U, yz=d'x-\-U't

les équations des trois droites : si l’on résout deux de ces équations, les valeurs de x et de y que l’on en tirera seront les coordonnées du point d’intersection des droites qu’elles représentent : donc, pour que les trois droites concourent, il faut et il suffît que ces valeurs de x et de y vérifient la troisième des équations proposées. On obtiendra donc cette équation de condition en éliminant x et^ entre les équations des trois droites. Cette élimination conduit aux calculs suivants:

0=(a — 'd)x-^-b — U, 0=(a — d')x-^-b—U' •, d’où ( b — lf)(a — d ') — ( b — É')(a — d)— 0.

4 121. Problème. Trouver l'angle de deux droites dont

les équations sont donm’es.

Soient y=ax-\-b, y=dx-\-U ,

les équations des droites données, a et al les angles qu’elles Fig. 4i. font avec l’axe des x, et 0 l’angle des axes; nous aurons donc

’sin (0 — a)’

sin(û — a’)

Cela posé, nos droites forment avec l’axe des abscisses un triangle dont l’angle au sommet est l’angle cherché, que j’appellerai V, et qui a pour angles, à la base, le plus petit des angles a et al et le supplément du plus grand, de sorte que

suivant que a est plus grand ou plus petit que a' ; par conséquent

[ tanga— tanga'