tfa,=0, d’où d= — i
ce qui nous apprend que , pour que deux droites rapportées à un système de coordonnées rectangulaires soient perpendiculaires entre elles, il faut et il suffit que les tangentes trigonométriques de$ angles qu’elles font avec taxe des x, c’est-à-dire leurs coefficients angulaires, soient réciproques et de signes contraires.
124. Si l’on veut que les deux droites soient parallèles, il faudra que l’on ait tangY = 0, et qu’ainsi le numérateur soit nul sans que le dénominateur le soit, ou bien que le dénominateur soit infini , sans qu’il en soit de même du numérateur.
Dans le premier cas, on aura a=d,
et nous avons vu tout à l’heure que, quand cette condition est remplie, le dénominateur ne peut pas être nul.
Pour que le dénominateur soit infini , il faut que l’une des quantités a et d soit elle-même infinie ; mais a = oo donne
tang V = : donc il faut encore que d = oo pour
que tangV soit nulle, et ces deux conditions sont suffisantes ; car, si l’on divise les deux termes du second membre de l’équation [8] par ad , il viendra
T |— V' aJ
tangV=±
et par conséquent tangV = 0, si a et d sont infinis. Mais a—ca et d=. 00 satisfont à la condition
donc, pour que deux droites soient parallèles, il faut et il suffit que leurs coefficients angulaires soient égaux. Et , en effet, lorsque deux droites sont parallèles, elles font des angles égaux avec 1 axe des abscisses , et par conséquent les coefficients de x dans leurs équations doivent être égaux.
11 suit de là et de ce qui précède (117) que l’équation de la parallèle menée par le point (fi, fi) à la droite
y=.ax-fib,
sera
x — y~fix — td).
125. Problème. Mener par un point donné une droite qui fasse un angle connu avec une droite donnée , et trouver la longueur de la partie de la seconde droite , qui est comprise entre la première et le point donné, en supposant que les axes des coordonnées soient rectangulaires.
Fig. 47. Soient (x1, y') les coordonnées du point donné M,
y=ax-fib [2],
l’équation de la droite donnée AIÎ, et Y l’angle connu, dont nous appellerons m la tangente. La droite demandée de-
vant passer par le point (a/, y % son équation sera de la forme (117)
d étant la tangente de l’angle inconnu qu’elle fait avec l’axe des x. Or, cette droite doit faire avec la première un angle dont la tangente est m ; on aura donc, en vertu de la formule [8] du n° 121 , en y faisant 6 = 00°,
d’où d—^-àLÜL.
i-f- aa 1 zfc am
Substituant cette valeur dans l’équation [1 0] , il viendra
azçzrn il ham
(x — af)
Telle est l’équation de la droite demandée. Cette équation est double, parce qu’on peut mener par un point donné deux droites qui fassent le même angle avec une autre droite.
126. Si l’on veut que la droite demandée soit perpendiculaire sur la droite donnée, on fera m = oo , dans l’équation [111, et, pour cela, on divisera d’abord par /h les deux termes du coefficient de x, ce qui lui donnera la forme
quantité qui se réduit à — - pour m — co , conformément
à la règle du n° 123. Ainsi l’équation de la perpendiculaire abaissée du point (a/, y') sur la droite [2] est
127. Cherchons actuellement la longueur de la partie de la droite [1 1] comprise entre la droite et le point donnés. Or il faut, pour l’obtenir, déterminer d’abord (66) la différence des ordonnées et celle des abscisses du point (.t/, y1) et du point d’intersection des lieux des équations [2] et [1 1 ]. Les ordonnées de ce dernier point étant les valeurs de x et de y qui vérifient ces deux équations , nous pourrons les représenter par x et par y , et il s’agira de tirer des équations [2] et [11] les différences (x — x]) et ( y — y'). Mais
ces deux inconnues sont en évidence dans la seconde de ces équations ; il faut donc les mettre aussi en évidence dans la première , ce qui se fera en retranchant jé de ses deux membres , et en ajoutant au second membre a£ — ax{ ;
de cette manière , l’équation [2] deviendra
j-y= «o —y —y+aj+b.
En retranchant de ses deux membres ceux de l’équation [11], y sera éliminé , et on tirera facilement de l’équation résultante
la valeur de (x — x'),
b){\±.am)
x—x—zsz m(1 •
En substituant enfin cette valeur dans l’équation [11], on aura
v ^ l(/—ax'—b)(a+m)
Si donc on désigne par 8 la longueur demandée, on trouvera, d’après la formule [4] du n° 66,
m (/— ox'— (lrham)1]
Il est facile de voir que la quantité renfermée dans les accolades revient à ( 1 — }— «’) ( 1 —J— /7Z*) , et que par conséquent la valeur de à* se réduit à
d’où l’on tire enfin
£ l y’ — ax'—b
qui est la formule demandée.
128. £ représente la distance de deux points, et n’est pas ici susceptible d’opposition de direction : c’est donc une grandeur absolue, de sorte qu 'il faudra rejeter celui des deux signes -ou — , qui donnerait une valeur négative pour S. Or, si l’on observe que osé b est l’ordonnée du point de la droite donnée qui a sé pour abscisse, on verra
Jr
que le facteur (y'-~axJ — b) sera positif ou négatif, suivant que le point donne sera situé au-dessus ou au-dessous de cette droite relativement à l’axe des x ; d’où l’on conclut que si le point (f, y') et la droite y = ax-\- b, sont donnes de position, il ne sera pas nécessaire de connaître les valeurs numériques des quantités i /, f, a et b pour savoir lequel des deux signes -)- ou — il faut conserver dans la valeur de 8. On prendra le signe supérieur ou le signe inférieur, suivant que le point sera au-dessus ou au-dessous de la droite, par rapport à l'axe des abscisses.
Mais si le point (xl, jJ) n’est pas donné, et qu’il faille, au contraire, déterminer ses coordonnées au moyen de la valeur de &, la fonction (f — axl — b) étant elle-même inconnue, son signe est indéterminé, et il faut en conséquence employer la formule [12] avec le double signe ±. 11 en est de même pour les formules suivantes [13], [14] et [15].
129. La formule [12] nous montre que la valeur de 5 est d'autant moindre que celle de m est plus grande, et que, par conséquent, cette valeur sera minimum quand m sera maximum, c’est-à-dire quand m sera infinie; mais alors la droite représentée par l’équation [1 1]est perpendiculaire sur le lieu de l’équation [2] : nous voilà donc ramenés à ce théorème de géométrie élémentaire : Si une perpendiculaire et des obliques à une droite partent d’ un meme point, la perpendiculaire est plus courte que toute oblique ; et de deux obliques, celle qui fait le plus petit angle avec la droite est la plus grande.
En désignant par p la perpendiculaire abaissée du point (al, f) sur la droite [2], nous aurons pour expression de cette perpendiculaire
y' — ax' — b
D’un autre côté, si l’on suppose l’angle Y = 45°, ce qui exige que m—\ , la valeur de & deviendra
or, £ est alors la diagonale du carré dont p est le côté : donc le rapport de cette diagonale au côté de ce carré est \[2.
géomêtrib analytique.
Si l’on remplace , dans la formule [13], a et b par —
et — -, il viendra
uAr'+Bj/4-C
Ainsi la longueur de la perpendiculaire abaissée du point (x', y ') sur la droite représentée par l’équation
Ay-fBx-f-C=0
est exprimée par une fraction qui a pour numérateur le premier membre de t équation proposée , dans lequel on a remplacé x et y par les coordonnées du point, et pour dénominateur la racine carrée de la somme des carrés des coefficients de x et de y.
Si les axes sont obliques, on trouvera facilement, en suivant la même marche que précédemment ,
|.(A/ ■fBx'+qsinl f| 5]
1 y^A’+B* — 2 AB cos 8 L J
mais on peut y parvenir plus rapidement de la manière suivante.
Fig. 48. Soit, en effet, MP=/> la perpendiculaire abaissée du point M (x\ y) sur la droite donnée AB ; on a évidemment
jP=MC.sinC;
mais sinC=sin(6 — a) et MC e=ÿ — CD — )J — aaf — ‘b, puisque l’équation de ÀB étant p=ax -\-b ; l’ordonnée du point de cette droite, qui a .r/ pour abscisse, est ajf- j-A; donc
p—{jr' — eué — £)sin(ô — a).
Or, de sin“
az
"sin(6 — a}’
on tire d’abord et ensuite (121) tanga d’où {Tri g., 28) sina=~ parlant p—±
■ .. N sin a
sm(0— a)=— ,
a sin 9
d -j- «cosO ’ a sin 0
-j- «’ -j- 2a cos 8 ( y ’ — aé — i)sin0
VT-f-fl’ cos 0
En remplaçant dans cette formule a et b par — - et par — ^ ,
on trouvera que l’expression de la distance du point (sé , y') à la droite, qui a pour équation A/-J-Bx-j-C = 0 , est
n l (A y1 -(- Rr' -J- C) sin 9
^ ' d — 2 ARcos 0 '
Nous allons faire quelques applications des formules trouvées précédemment.
X 150. Problème. Décrire une circonférence qui passe par trois points donnés.
Soient (sé, y1), (f, yn), (f", y'"') les coordonnées des trois points rapportés à deux axes rectangulaires (ce sont ceux qu'il faut , en général , préférer, lorsque fou a des distances à exprimer ou des angles à faire entrer dans le calcul ) : (a, jb) les coordonnées du centre, et r le rayon de la circonférence demandée ; son équation sera de la forme
Crv-PF+C*— 1 ^ [16].
Nous exprimerons qu’elle passe par les points donnés, en écrivant que leurs coordonnées satisfont à son équation, ce qui nous donnera les trois équations de condition
h —P)*' If—'éî
(f — aV=r*,
entre les trois inconnues a, [b et r; de sorte que, si l’on voulait avoir l’équation de la circonférence demandée, on devrait résoudre ces trois équations, et substituer, dans l’équation [16], les valeurs que l’on en aurait tirées pour a, (b et r. Mais, comme notre objet est seulement d’arriver à un procédé géométrique pour tracer cette circonférence , nous voyons que l’inconnue de la question est le centre, et qu’ainsi il nous faut tâcher de déterminer les coordonnées a et fb de ce centre. Eliminons donc rentre les équations [17]. Or, en retranchant les deux premières membre à membre, il vient
(y-yo(y+7"-2p)+(^-^)(Æ'+^-2*)=o[i8].
Si on regarde a et (b cdmme des coordonnées courantes, cette équation , qui est du premier degré par rapport à ces quantités, représentera une droite qui passe par le centre de la circonférence cherchée. Mais cette équation devient évidem-
/ I yU I jJ/
ment identique, en y faisant et a = — 2 — , de
sorte que son lieu passe par le milieu de la droite qui joint les deux points {£, y') et y, y1)} car on déduit facilement d’une propriété connue du trapèze (Géom. 576), que les coordonnées du milieu d'une droite sont les demi-sommes de celtes de ses extrémités . Il ne s’agit donc plus, pour déterminer ce lieu, que de trouver son inclinaison sur l’axe des x. La tangente de cette inclinaison est (108) ,
puisque tel serait le coefficient de a, si on résolvait l’cquation ci-dessus par rapport à (3; mais la droite, qui joint les points (j J, j/) et y, y1), fait, avec l’axe des abscisses, un angle dont la tangente est (1 1 7)
on voit donc que ces deux tangentes sont réciproques et de signes contraires, et que par conséquent les droites correspondantes se coupent à angles droits (123). Ainsi l’équation [18] nous indique que le centre de la circonférence qui passe par les trois points (.r7, jJ) , y, yr), y, y") est situé sur la perpendiculaire élevée sur le milieu de la droite qui joint les deux premiers. Par la même raison, il se trouvera sur les perpendiculaires élevées sur les milieux des droites,
3ui vont du premier au troisième, et de celui-ci au second;
’où il semble résulter que le problème peut avoir trois solutions. Mais j’observe que les lieux de l’équation (1 8 J et de ses deux analogues 4
(/'—/")(/'+ y— 2P) +[x”—jé"jy+xJ"— 2a)=0 [20], concourent en un même point; car, l’une quelconque de ces trois équations étant la différence des deux autres *, tout
* Si, clans les équations [17], on transpose é clans le premier membre, ces .équations pourront être représentées par A' = 0, A"=0, A" = 0 , de sorte que les équations [18], [19] et [20] le seront par
A' — A"=0, A’ — A"' = 0 et A" — A'" = 0 , et on voit que l’une de celles-ci s’obtient en retranchant les deux autres membre à membre.
couple de valeurs de a et de jï qui vérifiera celles-ci satisfera nécessairement à 1 autre; ainsi, le problème n’a qu’une solution. Il sera possible, si les droites représentées par les équations [18] et [19], par exemple, se coupent : il faut donc que leurs coefficients angulaires soient inégaux (124), et qu’on ait en conséquence
ce qui signifie que les trois points ( f,y ), y,/"1)
ne sont pas en ligne droite; car, 1 équation de la droite qui passe par les deux premiers étant
y— y=pE^(x— ’A
on aura la condition nécessaire et suffisante pour que les trois points soient en ligne droite, en exprimant que les coordonnées y, y ) du troisième satisfont à cette équation ; ce qui donnera
ou
Une circonférence ne peut donc pas être coupée en plus de deux points par une ligne droite , et les perpendiculaires élevées sur les milieux des trois côtés d'un triangle concourent en un meme point.
131. Problème. Trouver le lieu de tous les points desquels on peut mener des tangentes égales à deux circonférences données.
Soient (x,f) les coordonnées rectangulaires de l’un des Kig. 19. points dont il s’agit, (a, J3) et celles des centres des deux circonférences données, r et é les rayons de ces circonférences, et t la longueur de la tangente issue du point (x, y) : on aura, en vertu de la formule [3] du n° 66, *f
Cr-PM
-(x—df=T-\-é!;
car la droite qui joint le point (x,f) au centre de l’un des
t \ cercles est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les deux
autres côtés sont le rayon de ce cercle et la tangente t. Si l'on retranche ces deux équations membre à membre, l’indéterminée t disparaîtra , et l’équation finale résultante
(2/— P— (W— P)-f (2x— a— aO(a'— a)— [2 1 ]
sera par conséquent celle du lieu demandé. Ce lieu est donc une ligne fcrenc.es.
Remarquons que cette équation est celle même qu’on obtiendrait en retranchant membre à membre les équations des deux circonférences données
ix— PT-H*—1 “O’—' ^ — o=R-
132. On conclut de là que, si deux circonférences se rencontrent, leur axe radical est la droite indéfinie qui joint leurs points d’intersection; car l’équation
représente une ligne qui passe par les points communs aux deux circonférences (39) lorsqu’elles se coupent; or, cette ligne est droite, donc elle n’est autre que leur corde commune indéfiniment prolongée.
133. Les axes radicaux de trois cercles concourent en un meme point, qu’on nomme leur centre radical. En effet, si
À=0, B = 0, C = 0 représentent les équations de trois circonférences,
seront celles de leurs axes radicaux; mais l’équation B— C=0 étant la différence des deux autres, la droite, qu’elle représente, passe par le point d’intersection des lieux de celles-ci. Notre théorème se trouve ainsi démontre.
X Cette proposition fournit le moyen de construire facilement l’axe radical de deux circonférences qui ne se rencontrent pas. Il suffit, pour cela, de les couper toutes deux par une circonférence auxiliaire, de prolonger les cordes communes jusqu'au point ou elles sc rencontrent, et d’abaisser de ce
droite. On l’appelle Y axe radical des deux circon-
point une perpendiculaire sur la droite qui joint les centres; car, le coefficient angulaire de la droite [21] étant jj
on voit que cette droite est perpendiculaire à la droite
qui joint les centres.
M34. Problème. Si d'un point. C pris sur le plan d'un angle YOX, on mène une série de transversales telles que Fig. 50. CBA, CB' A', CB" A",.... qui rencontrent les côtés de cet angle, les droites qui, comme A B' et B A', A'B" et B' A", .... joindront les points de section opposés, se couperont en des points M, M',.... dont on propose de trouver le lieu.
Prenons les deux côtés de l’angle donné pour axes des coordonnées, et désignons par a et p les coordonnées du point donné C; appelons d’ailleurs a et d los abscisses des points A et A'. L’équation de la droite CA , qui passe par les deux points (a, (2), (a, o), sera
y=éra(x~' «);
ainsi son ordonnée à l’origine est OB=;£^, et par conséquent la droite BA', qui coupe les axes des x et des^' aux distances d et^^ de l’origine, aura pour équation (119)
d’où, en faisant évanouir les dénominateurs,
d{a — d)j-\- apx=.adp [22].
Il s’ensuit que la droite AB' aura pareillement pour équation
a(d — t>)j-\-dpx=.adp [23].
Si donc on peut éliminer a et d entre les équations [22] et [23], l’équation finale résultante en x et en y sera celle du lieu des points M (6iî). Or, en retranchant ces deux équations membre à membre, il viendra, après avoir fait les réductions ,
*y-{-px = 0 [24],
équation d’une ligne droite. Pour la construire , je prolonge l’ordonnée CQ=[i du point C d’une quantité QC' égale à elle-même, et je joins le point C au point O par une droite indéfinie Z z (1 1 4), qui est le lieu des points M.
*153. On dit que le point C est un pôle de la droite Zz, et (jue cette droite Z z est la polaire «lu point C, par rajtport à l'an "le XOY.
*156. 11 est bon d’observer que l’équation [24] ne change pas, lorsfju’on y remplace a et (Ü par deux cpiantités qui leur soient proportionnelles, c’est-à-dire parl«;s coordonnées d’un point quelconque de la droite Ve, et «ju’ainsi la droite Lz est la polaire de chacun des points de Ve.
Réciproquement chacu/i des points de Zz est un pôle de ta droite Ve. Soient, en effet, (ai, y) les coordonnées d’un point quelconque de Zz, l’équation de la polaire de ce point sera, d’après ce cjui précède (134),
•yn-/*—0» °u •••/*=—■ yjx:
mais les coordonnées^ et y doivent, par hypothèse, vérifier l’équation [24]; ainsi
«y+^=0, ou
donc l’équation de la polaire du point ( V , f) revient à
donc cette polaire est la droite Ve.
*137. Les quatre droites indéfinies Ve, Y y, Zz, X.r jouissent de la propriété remarquable de couper en parties harmoniques * toute transversale qui, comme CBDÀ, les rencontre toutes quatre, de sorte que l'on a
BC: BD:: AC: ad.
Nous aurons évidemment démontré cette proportion , si
* On appelle points harmoniques quatre points situés en ligne droite, et tels, que les distances du second au premier et au troisième sont proportionnelles aux distances du quatrième ces mêmes points. Deux points de rangs pairs ou de rangs impairs sont dits harmoniques conjugués.
nous prouvons que les projections des quatre parties de la transversale, faites sur l’axe des abscisses par des parallèles à l’axe des^, forment elles-mêmes une proportion harmonique, c’est-à-dire que
