OQ:OP::AQ:AP

En désignant toujours par (a, {}) les coordonnées du point C, et par a la distance OA, les équations de CA et de Lz sont (434)

7=^(x— a), et eç/-f-fir=0.

En éliminant y entre ces deux équations, on trouvera pour l’abscisse OP de leur point d'intersection

x= — — — , et par suite AP= — (x — a)= —

Je substitue ces valeurs dans la proportion précédente , et je trouve

•a-f -Cl :

proportion qui est vraie, car le produit des extrêmes est égal à celui des moyens.

*138. On appelle faisceau harmonique le système de quatre droites qui, issues d’un même point, passent par quatre points harmoniques. Celles qui passent par des points conjugués sont dites harmoniques conjuguées. Ainsi les quatre droites Ve, Z s et X.r forment un faisceau harmonique,

et les droites Ve et Z z, par exemple, sont harmoniques conjuguées. Le théorème du n° 157 peut donc s’énoncer de la manière suivante : Toute transversale est coupce harmoniquement par un faisceau harmonique.

Il suit de ces définitions et du n° 1 56 que, dans un faisceau harmonique quelconque, chaque point de l'une des droites peut être regardé comme un pôle de son harmonique conjuguée.

La construction que nous avons donnée du lieu de l’équation |‘24] démontre cette propriété remarquable : Toute parallèle à l’une des droites d’un faisceau harmonique est coupée par les trois autres en parties' égales.

139. Nous proposerons pour exercices les questions suivantes : 9

I. Déterminer les côtés , les angles, les hauteurs et l'aire du triangle que forment les droites représentées par les équations

y=2x— 2, yz=x-\-2t j — 3#— 4.

II. Calculer les coordonnées du centre radical de trois cercles donnés.

Fig. 5i. III. Démontrer que si trois droites AB, A'B', Af,B* sont parallèles, et que l'on joigne A .M et BlV, A A." et BBff, A' A' et B'B", les trois points (le concours C, C et C seront en ligne droite. — On prendra l’axe des# parallèle aux trois droites données: puis, quand on aura déterminé les coordonnées des points C", C et C, ou exprimera que l’axe des y passe par deux de ces points.

Fig. 52. IV. Si, dans le plan d’un parallélogramme ABCD, on tire deux parallèles D'A' et ErC? aux côtés DA et 1)C, les diagonales A'D" et CB des deux parallélogrammes partiels A'AI)f'E et EC'Ciy iront concourir avec la diagonale BD du parallélogramme proposé. — On prendra pour axes deux parallèles aux côtés DA et DC, puis, quand on aura formé ies équations des trois droites A'D", CIV et BD, on exprimera que l’origine est au point de concours des deux premières.

Fig. 53. V. Par un point Jixe O pris dans le plan d'un cercle, on mime une suite de sécantes qui, comme ON N', coupent sa circonférence aux points N et N'; puis on cherche 1 harmonique conjuguée M du point O, par rapport à N et à Nf, de sorte que NÔ : NM : ; N'O ; N'M, et on propose de trouver le lieu des points M. — On discutera ce problème en supposant, par exemple, que le point O, d’abord extérieur à la circonférence, s’en rapproche, l’atteigne, et décrive la droite indéfinie qui l’unit au centre.

VI. Trouver sur le plan de trois droites indéfinies, un point M tel que ses distances à ces trois droites soient proportionnelles à trois droites données, m, m', m". — Discuter ce problème, en examinant combien il admet de solutions. — Ce qui arriverait si, deux des droites données étant parallèles, le point M devait en être équidistant; — si les trois droites données étant parallèles, /«, m', m" sont différentes.

Quel est, dans ce cas, le lieu dos points M? Peut-il être le système de deux^droites? — Construction du point demandé dans le cas général. — Comment se modifie cette construction, si m=m'=m"? — En conclure que le centre d’un cercle inscrit ou ex-inscrit au système de trois droites se trouve aux points de concours des bissectrices des angles formés par les droites. — Calculer les rayons des quatre cercles tangents, chacun aux trois droites données, et classer ces cercles par ordre de grandeur.

VII .Un point M étant donné dans le plan de deux droites, et à égale distance de ces droites, mener par ce point une sécante qui coupe les deux droites en dent points A et R, tels que la somme des carrés des deux segments MA et MB soit égale à un carré donné c\ — Discussion.

VIII. Etant donnés dent droites rectangulaires OA Fig. 54. et OR et un point fixe C sur la première , trouver le lieu

des points M, tels que si l’on joint MC, et que l’on prolonge cette droite jusqu'à sa rencontre en D avec OB, on ait MC.CD=CÔ‘-

IX. Par un point quelconque O, pris sur 1’ hyj>oténuse Fig. 55. d’un triangle ABC rectangle en C, on mène une sécante quelconque B'OA', qui coupe ses côtés CR et RA respectivement en B' et en A' ; on fait passer une première circonférence par les trois points B', B et O, une seconde par les trois points A', A et O : trouver le lieu des points d'intersection de ces circonférences. — On vérifiera les résultats de l’analyse par des considérations géométriques.