MÉTHODE DES TANGENTES

g I. Tangente A une courbe rapportée à tles coordonnées rectilignes.

140. Ou appelle tangente à une courbe en un point donne, ta limite vers laquelle tend la direction d'une sécante que l'on fait tourner autour de ce point jusqu’à ce qu'un second point (t intersection vienne coïncider avec le premier.

141. Remarquons : 1° qu’une droite peut être à la fois Fig. 30. tangente et sécante : telle est RD R' (fig. 30); donc on ne peut

pas dire qu’une tangente est une droite qui n’a qu un point de commun avec une courbe. D'ailleurs, une droite peut très-bien n’avoir qu’un point commun avec une courbe et ne pas lui être tangente. Telles sont dans la cissoïde les parallèles à AO.

2° Que le mouvement de rotation de la sécante doit en général s’exécuter autour de l’un des points où elle coupe la courbe; car, si le centre de ce mouvement était tout autre point de la direction primitive de la sécante, il pourrait arriver que deux points d’intersection se fussent confondus en un seul, sans que la sécante fût devenue tangente. (Voyez la fig. 30, où l’on peut regarder la droite KO comme la limite des positions successives que prend la sécante KMfM en tournant autour «lu point K , et cependant la tangente à la cissoïde au point O est la droite OA.)

3° Par la même raison, il ne suffit pas, pour obtenir une tangente, de faire glisser une sécante parallèlement à ellemême, jn^qu’à ce que deux points d’intersection soient venus se réuilïi^in un seul. C’est ce que montre encore la fig. 30; car Y y, Tiinite des positions successives que prend la sécante KM'M en glissant parallèlement à elle-même, n’est pas une tangente.

Cependant ces deux modes de génération de la tangente

TANGENTES. — COORDONNÉES RECTIEIGNES.

pourraient être employés avec confiance, si l’on savait a priori qu’aucun des points de la courbe proposée n’est formé de la réunion de deux branches distinctes. Supposons, en effet, qu’en faisant tourner une sécante autour d’un point fixe, ou en la faisant glisser parallèlement à elle-même, deux de ses points d'intersection AI' et AI" soient venus se confondre en Fig. 5G. un seul M, qui sera nécessairement situé entre eux, et soit TT' la tangente en ce point M; on voit que la somme des trois angles TAXAI', AI'AIAI" et AFAIT vaut deux droits, de sorte que la somme des angles AEVÏ'M" et MM"M' est égale à celle des deux angles T MM' et laquelle somme a pour

limite zéro, puisque, quanti les points Al' et M" viennent coïncider avec AI, les sécantes MAI et MM" deviennent les tangentes AIT et AIT' (140), dont les directions coïncident; car le point Al n’est pas formé par la réunion de deux branches qui sc coupent. Donc les angles MAl'M" et A1M"A1' tendent vers zéro , et ainsi la sécante Al'AI" tend à devenir parallèle à TT'; puis donc qu’à la limite, scs points AI' et AI" viennent se réunir en un point M de cette tangente, il faut en conclure que la limite de ses positions successives est cette même tangente. »

142. Cela posé, proposons-nous de trouver l’équation de la tangente menée au point AI (f,f) d’une courbe algé- Fig. 57. brique dont on a l’équation f) = 0 ( cette équation est supposée entière et rationnelle ; s’il n’en était pas ainsi, il faudrait commencer par la ramener à cette formé). Je prends sur la même branche un deuxième point AI', dont je désigne les coordonnées parx'-| -h et pari/'-|-Æ, et je joins ces deux points par une droite indéfinie AlAl'. Son équation sera donc (117)

en y joignant les deux équations de condition

ff+h,f+k)= 0,

qui expriment que les points M et AI' appartiennent à la courbe proposée. En développant cette dernière équation, et en ayant

égard à la précédente, elle prendra la forme {Algèbre , 54i)>

■ ? '«,/)*+ îV„/)o+-]

+»w/.x+vw,y.)o+- =» pi-

Si l’on fait tourner la sécante MM' autour du point M, le

rapport - qui détermine la direction de cette droite variera,

et se présentera sous la forme § quand le point M* sera confondu avec le point M, puisque alors h et/- seront devenus nuis. Toutefois ce rapport n’est pas indéterminé * , car la sécante tend évidemment vers une limite déterminée. Pour

obtenir la limite du rapport ^ dans le cas que nous considérons, je divise tous les termes de l’équation [3] par h, puis

* Désignons, en effet, par r la longueur de la corde MM', et supposons qu’ayant pris sur sa direction une distance MIS égale à l’unité linéaire, on lire NS parallèlement à l'axe des y, si on appelle a et fl les droites MS et NS , on aura évidemment .

d'où

r : i :: / : p :: h : a, k — pr et h = a r,

et par conséquent j =-. Or, l’une des quantités a et p ne peut être nulle que si la sécante MM' devient parallèle à l’axe des /ouà celui

des x; donc le rapport - n’est pas indéterminé, lorsque h et / sont nuis,

et c’était la présence du facteur r qui anéantissait alors scs deux termes ; de plus, il ne peut devenir nul ou infini que pour certaines valeurs de x' et der'; donc ce rapport a une limite déterminée , dont la valeur dépend , en général , des coordonnées du point M que l’on considère.

On voit ainsi que la limite du rapport de l’accroissement d'une fonction de x ri celui de cette variable, est une quantité déterminée, quelle que soit cette fonction, pourvu qu’elle soit continue, sans quoi y — F(x) ne représenterait plus une courbe. La première démonstration analytique de ce principe, qui sert de base au calcul différentiel , est due à M . Binet, et elle a été reproduite avec quelques simplifications par M. Duhamel, dans sou Cours d'anufjse 4 l’Ecole polytechnique.

je mets j en facteur commun , ce qui donnera

I î'tt . /) +fV. , /) ~ + tV.

+ 1 /.) +fV,y.) ô+- i '=»■

Or, si l’on suppose que h et k tendent vers zéro , le rapport tendra vers sa limite , et tous les termes qui , dans

chaque accolade , suivent le premier, renfermant au moins un facteur A ou un facteur A, convergeront vers zéro, de sorte que la limite vers laquelle tend le premier membre de l’équation précédente est lim~; donc

"/G*7. >/)+ j\ ) lira -h = 0,

d’où

Jim y :

? Vi » /)

Donc l’équation de la tangente, menée par le point (a!, y1) à la courbe qui a pour équation ç(x, j*) = 0, est

ou, ce qui revient au même,

?'(•*'> /.) • Cr—/) +?'(*'» /) • O— ■•*')= 0 [6],

avec la condition

143. On voit, par la formule [4], que le coefficient angulaire de la tangente à une courbe algébrique est une fraction dont les deux termes sont les dérivées respectives du premier membre de l'équation proposée, prises par rapport à x et par rapport à y, et dans lesquelles on a remplacé ces variables par les coordonnées du point donné , cette fraction étant affectée du signe — .

144. Il suit de là que si, l'équation de la courbe proposée étant résolue par rapport à y, son second membre est une fonction entière et rationnelle de x , le coefficient angulaire de ta tangente sera la dérivée de cette fonction , dans laquelle dérivée on aura remplacé x par xf. Ainsi,

<j >(.r) étant une fonction rationnelle et entière de .r , l’équation de la tangente à la courbe .

au point (d, y) sera

jr—y=i{y).{x—£) [7],

avec la condition y—cfa!).

1 41». Appliquons la règle exprimée parla formule [6] aux courbes du second ordre. Leur équation générale est

?0, j) — Ay+Rij-j-Cr’ Dj-f-Ei: + F= 0.

On en tire

?'0> ) =2 A/-{- Rz-j- D, 7) = Bj-|- 2Cr-f E ;

de sorte que l’équation de la tangente au point (yJ ,}J) est

(ky+Ba/+D)(j-/)+(By+2Gt/+E)(Æ-^)=0,

avec la condition

A y" -f- Rry-f D/-j-Ez'-f F— 0 [8].

Cette équation peut se simplifier, en lui ajoutant le double de l’équation de condition. En effectuant ce calcul, on trouvera

(2Aj'+Rr'+D)j+(B;J+2CÆ'+E).t-+Dy+Ea.H2F==0 [9],

équation dont il est important «le retenir la forme.

14(î. Au moyen de l’équation [G], il sera facile «le mener une tangente à la courbe proposée; car, si l’on suppose y= 0 dans celle équation, on en tirera la valeur de l’abscisse du point où cm tangente coupe l’axe «les .r; on construira donc ce point, et en le joignant au point de contact, la tangente sera menée.

Si, par exemple, on veut mener une tangente au point 1)(V, /•) «le la cissoïde, on cherchera d’abord l’équation de la tangente en ce point; on trouvera

?'Oi » f) = —y— 3a*, ?'(•*•', J, ) = 2jpr—.z),

et on en conclura que l’équation de la tangente au point (/•, /•) est

J'=0 donne x = ^’, ainsi on joindra le point D au milieu

de OC, et on aura la tangente demandée.

Nous pouvons maintenant résoudre plusieurs questions intéressantes sur les tangentes.

147. Problème. Par un point donne sur le plan il' une courbe , mener une tangente à cette courbe.

Soient («, p) les coordonnées du point donné, (a!, y') celles du point de contact, et <p(.z, /) = 0 l’équation de la courbe proposée : l’équation de la tangente au point (V, jJ) sera

avec la condition

Mais la tangeutc doit passer par le point donné ; donc ses coordonnées a et p doivent vérifier son équation ; donc *

Ainsi, en résolvant ces deux dernières équations, on obtiendra les coordonnées du point de contact; mais, au lieu de cela, il sera en général préférable de construire le lieu que représente cette dernière équation, lorsqu’on y regarde x et comme des coordonnées courantes (64), et de joindre les points où il coupera la courbe proposée au point (a, p). Application au cercle représenté par l’équation

En faisant usage de l’équation [9], on aura, pour équation de la tangente au point (a/, y),

yj-\-dx—rl = 0,

et par conséquent,

p/-j- aux — P = 0,

en supprimant les accents. Nous devrions donc construire cette équation pour déterminer les points de contact, ce qui serait facile, puisqu’elle est du premier degré. Toutefois, nous pouvons arriver à une construction plus simple, en observant que l’on peut substituer (64) au système des équations

jpyy —P=0,

P/4- ou:— r2— 0,

le système formé de la première et de leur différence. Or, cette différence est

y* — py-j-x* — a.r=0,

équation qui représente une circonférence passant par le point de contact, par l’origine et par le point donné. Pour la construire, il faudra, conformément à la règle du n° 71, compléter les carrés dont y* et — Py, a? et — a.r sont les deux premiers termes, ce qui la ramènera à la forme

B et

Les coordonnées du centre sont donc jj et - , de sorte que ce

centre se trouve ainsi au milieu de la droite qui joint le point donné à l'origine* Donc, pour résoudre le problème, on joindra le point donné au centre, on décrira une circonférence sur cette droite comme diamètre, et les droites tirées par le point donné, et par ceux où elle coupe la circonférence proposée, résoudront le problème. C’est une des solutions données dans les Eléments de Géométrie.

148. Problème. Mener à la courbe <p(x, y) = 0 une tangente parallèle à une droite donnée.

Soient y—ax-\-b

l’équation de la droite donnée, {.é, y1') les coordonnées inconnues du point de contact; le coefficient angulaire de la tangente sera ~~l y ) > ct en vcrtu du principe du n° 124, nous aurons

tVh /) .

çV i /i) ’

comme les coordonnées x1 et yJ doivent vérifier l’équation de la courbe proposée, nous aurons encore

Voilà ainsi deux équations entre sé ct^, et par conséquent on obtiendra les valeurs de ces inconnues en résolvant ces deux équations. Mais, si l’on veut tracer effectivement la tangente demandée, on construira le lieu de la première, et en menant par les points où il coupe celui de la deuxième,

c’est-à-dire la courbe proposée , des tangentes à cette courbe , le problème sera résolu.

Application au cercle représenté par l’équation

En ne tenant pas compte des accents qui sont inutiles, la première des équations précédentes sera

= n, «ou y= x.

, jr ’ J a

Ainsi, les points de contact se trouveront sur la perpendiculaire abaissée du centre sur la droite proposée (109 et 125% ce qui conduit à la solution donnée dans les Eléments de Géométrie.

149. On appelle normale à une courbe, la perpendiculaire élevée sur la tangente au point de contact. Il suit de cette définition et de la formule [9] du n° 122, que l’équation de la normale menée à la courbe y(x} /) = {) par le point (çd,y), est

avec la condition

<?'(*'„ /)CQ50 — /)/„ jx r,ni

<jé(^/l)COS0 — «f'Cx'l./)''' / LJ»

Il sera facile, en suivant la méthode exposée aux n°* 147 et 148, de mener à une courbe une normale qui passe par un point donné, ou qui soit parallèle à une droite donnée.

150. Problème. Mener une tangente commune à deux courbes données.

1 " Méthode. Soient ç(.r, jr)=0 et 0 les équa-

tions des deux courbes proposées, (a/,/') et (r1, y") les coordonnées inconnues des points ou la tangente demandée doit toucher respectivement la première et la deuxième courbe. Les équations de la tangente au point (x1, jé) seront

ÿV,/.)'

çC-î/, /)=o

et colles de la tangente au point (xJr, yr) seront y— r" — — (x xJI)

Mais ces deux tangentes doivent coïncider; donc leurs équations doivent être identiques, ce qui exige que I on ait

VC*W0' r,oi

^•;wk+i’ls p*

Voilà ainsi quatre équations entre a/, .r" e tj11’, de sorte

que si nous éliminons sé' et j'f entre les trois dernières, nous obtiendrons une équation

qui, conjointement avec [2], déterminera les coordonnées du point où la tangente demandée touchera la première courbe. Il ne s'agira donc plus que de résoudre ces deux équations, ou de construire le lieu de l’équation [15], et de mener ensuite des tangentes à la première courbe, aux points où elle sera coupée par ce lieu.

151. Exemple. Mener une tangente commune au cercle et à la parabole représentés par les équations

et y'—'lpx.

Les équations des tangentes au point de la pre-

mière, et au point [pé',y') de la seconde sont (145)

yy-\-xd—t3—Q, jrf-p{x-\-xP)=.0.

Ainsi les équations du problème proposé sont

^+yw=0, y"1 — 2pjé'—0, -y=p,

On tire de ces deux dernières

py

et, en substituant ces valeurs dans la seconde, on trouvera

ys+— ^=0.

Ainsi le cercle sera touché par la droite demandée, aux points où il est rencontré par la parabole que représente cette dernière équation; mais, au lieu de la construire, il vaudra

mieux éliminer^ entre les équations de ces deux courbes; car on obtiendra ainsi l'équation finale

dont les racines se construiront avec la règle et le compas [27]. La racine positive doit être rejetée*.

132. 2' Méthode. Soient toujours 9 (.r, /) = () et ^{x,y)=0 les équations des deux courbes données, et

y=ax -j-b

l’équation de leur tangente commune. Les inconnues de la question sont ainsi a et b. Or, si nous éliminons y entre l’équation de cette droite et <p(x,?-)= 0, l’équation résultante cp(x, ax -j-Z>) = 0 aura pour racines les abscisses des points d’intersection de ces deux lignes; de sorte qu’en écrivant qu’elle a deux racines égales, nous aurons exprimé que la droite rencontre la courbe en deux points réunis en un seul, c’est-à-dire, en général, qu’elle lui est tangente (141). On formera donc la dérivée de l’équation ç(x, ax-\-b), on cherchera le plus grand commun diviseur de leurs premiers membres , et , en égalant à zéro le reste indépendant de x {Algèbre, 346), on aura une équation de condition

qui exprimera la relation qui doit exister entre a et b, pour que la droite y = ax -f- b soit tangente à la courbe

En faisant le même calcul pour l’équation ty{x,y) = 0, on aura une seconde équation

qui exprimera que notre droite est tangente à la deuxième courbe; et il ne s’agira plus que de substituer dans l’équation de cette droite les valeurs de a et de b, déterminées par les équations f{a , b) = 0 et F{a, b) = 0.

* On peut remarquer que les racines de cette équation sont les tangentes des moitiés de tous les arcs qui , dans le cercle dont le rayon est r, ont — p pour tangente {Tri g., 49). De là un moyen élégant de résoudre le problème.

Cette méthode entraînera en général dans des calculs plus compliqués que la première; car l’équation f(a: b) = 0 détermine non-seulement les relations qui doivent exister entre a et ù, pour que la droite jz=ax-\-b soit tangente à la courbe çvj:,^) = 0, mais encore pour qu’elle passe par les points- multiples de cette courbe , .c’est-à-dire par ceux où plusieurs branches viennent se réunir. Toutefois elle sera préférable si les courbes proposées sont du second ordre; car les équations f(n, b) et F(fl, b) = 0 se forment alors trèsfacileinent, et nous verrons plus tard que les courbes de cet ordre n’ont pas de points multiples.

f 133. Exemple.

\ circonférences données.

Pour plus de simplicité, nous placerons l’origine des coordonnées rectangulaires au centre de l’un des cercles, et nous dirigerons l’axe des x par le centre du second ; de cette manière les équations de nos deux circonférences seront

Mener une tangente commune à deux

y-f-ar5— ^ = 0 [a],

( [x—dj—rh= 0 [b],

en appelant r et d leurs rayons et d la distance de leurs centres. Soit toujours

yzz^ax + b [c],

l’équation de la tangente commune. J’élimine jr entre les équations [6] et [c] , et j’écris que les racines de l’équation résultante

(a!-J-1)x,-[-2(a^-— d)x-\-lé-\-cP — rft=0 sont égales, ce qui donne la condition

( ab — (Vf — («’-{- 1 ) & — d')— 0,

ou, toutes réductions faites,

di(cf-\-\ ) — (o</— J-&),= 0 [</].

En faisant d— 0 dans cette équation et en y remplaçant d par r, on aura évidemment la condition d’égalité des racines de l’équation qu’on obtiendrait en éliminant ; entre les équations [«] et [c]. Cette condition est

Il sera facile de tirer de ces équations les valeurs de a et de b, et, en les substituant dans l’équation [c], on aura l’équation de cette tangente; mais, si l’on veut seulement arriver à une solution géométrique de la question, il suffira de trouver un point de la tangente commune, ou sa direction; car la question sera alors réduite à mener à une circonférence une tangente qui passe par un point donné (147), ou qui soit parallèle à une droite donnée (148).

1" Cherchons le point où la tangente commune coupe l’axe

des x. Son abscisse est (1 13) Or, si l’on divise membre

à membre les équations \d\ et [c] , après avoir transposé , il viendra

ainsi il ne s’agit plus que de construire une abscisse égale à cette quantité. Pour cela, nous prendrons sur un rayon quelconque OA du cercle /•, à partir de A, deifx distances AB Fig. S8. et AB' égales à r1, nous joindrons 110' et B'( )'; et si nous menons par le point A des parallèles à ces droites, elles iront couper l’axe des x en des points C et C, tels que *