OC

tir

--- — -, et que

tir

Mais j’observe que si par le centre O' on mène un diamètre A' A'' parallèle à OA, les droites AA' et AA" seront précisément les parallèles dont il s’agit. Ainsi, nous voilà ramenés à la construction donnée dans notre Géométrie (27 i>), pour déterminer les centres de similitude de deux cercles , et par suite pour leur mener une tangente commune.

2° Voyons maintenant comment on pourra déterminer la direction de cette tangente. 11 s’agit, pour cela, d’éliminer b entre les équations [e/| et [e], ou mieux entre [c] et [/]. Le résultat de cette élimination est

a — dz

\Jd'— (rrp/)’

et comme cette valeur de a est quadruple, on voit que le problème admet en général quatre solutions. Si l’on y fait

r'= 0, et qu’on appelle ci la valeur correspondante de af on

trouvera

ci =rfc-

\JtP — r1

formule qui détermine la tangente trigonométrique de l’angle que fait avec Taxe des x la tangente menée du point O' au cercle r. Mais la valeur de ci se déduit de celle de ci , en y changeant r en (rqzr'); donc cette valeur de a est la tangente trigonométrique de l’angle que fait avec l’axe des abscisses la tangente menée de O* au cercle décrit du point O comme centre avec le rayon Çrzpé'). Donc, pour résoudre le problème, il faudra tirer cette tangente, et tracer ensuite une tangente à l’un des cercles donnés parallèlement à celle-là. C’est encore une des constructions que nous avons données dans nos leçons de Géométrie (274).

Nous ne nous arrêterons pas à la discussion des formules Af] et [g]; car elle ne saurait présenter de difficultés.

1 154. Problème. Trouver les relations qui doivent exister entre les coeffic ients indéterminés des équations de deux lignes pour cjue ces lignes soient tangentes.

Deux courbes sont dites tangentes lorsqu’elles ont un point commun, et en ce point une tangente commune. Il suit de là que si une courbe qui en rencontre une autre se meut jusqu’à ce que deux points d intersection se soient réunis en un seul, ces deux courbes seront tangentes en ce point, à moins que ce point ne soit multiple. On pourra donc employer, comme dans la question précédente, deux méthodes différentes pour résoudre le problème proposé.

^rt Méthode. Soient <p(x1p') = 0 et ty(x, f)=0 les équations des courbes proposées, et Çé,fi) les coordonnées de leur point de contact. Nous exprimerons évidemment les conditions de la question , en écrivant que les tangentes menées aux deux courbes au point font le même angle avec

l’axe des abscisses, et que les coordonnées de ce point satisfont aux équations de ces courbes : nous trouverons ainsi les équations

de sorte qu’en éliminant si et Rentre elles, l’équation résultante exprimera la condition nécessaire et suffisante pour qu’un même couple de valeurs de ai et def puisse les vérifier toutes les trois , et sera par conséquent la relation demandée.

1135. 2' Méthode. Si, entre les deux équations proposées <p(x, f)=0 et <^.r, r)=0, on élimine une des variables, j- par exemple, l’équation finale fx) — 0 aura pour racines les abscisses des points d’intersection des deux courbes; par conséquent , si l’on écrit qu elle a deux racines égales, on aura exprimé que deux points d’intersection sont venus se confondre, et qu’ainsi les deux courbes ont généralement un point de contact. L’équation de condition qui exprimera que l’équation /^x) = 0 a deux racines égales, résoudra donc la question.

On fera, sur cette deuxième méthode, les mêmes remarques qu'au n° 152.

1 56. Nous allons en faire l’application à la recherche des conditions du contact de deux circonférences. Je place l’origine des coordonnées rectangulaires au centre de l’une des circonférences, et je dirige l’axe des x par le centre de l’autre; de cette manière leurs équations seront

yy-ai—d et jd- j-(x — dy = rn,

en désignant leurs rayons par r et par d, et la distance de leurs centres par d. J’élimine^- entre ces deux équations, ce qui donne

2dx — d'=d — /*, d’où x = — — .

Ainsi les points d’intersection de ces deux circonférences ont la même abscisse; donc ils sont situés sur une même perpendiculaire à l’axe des x, c’est-à-dire à la droite qui joint les centres. Pour exprimer que les circonférences se touchent, il faudra écrire que les valeurs de^-, correspondantes à celle que nous venons de trouver pour x, sont égales : en consé- • . . rP4-r 3 d*

quence, je substitue — él au i;eu je x dans ]a première

équation, qui est la plus simple; car on peut remplacer le système des équations proposées par le système formé de l’une

d’elles et de leur différence, et il vient

Yd v^v*— (^’+ d—df

==t ^ v' O-W-K) (r-H— - O (/+/•— rf) ('—'--K)

en se rappelant que la différence des carrés de deux quantités est égale au produit de leur somme par leur différence. Ces deux valeurs de y étant égales et de signes contraires, on conclut de là et de ce qui précède, que la droite qui joint les centres de deux circonférences qui se coupent est perpendiculaire sur le milieu de la droite qui joint leurs points d intersection.

Puis donc que les ordonnées des points d’intersection des deux circonférences sont de signes contraires, elles ne pourront être égales que si elles deviennent milles ; mais si l’on suppose rfd, les deux premiers facteurs ne peuvent se réduire à zéro ; donc il faut que l’un des deux autres soit nul , et que l’on ait en conséquence

d-\-r — d— 0, d’où r-\-d—d ; ou d — r-j-d=0, d’où r — d=d.

Ainsi, pour que deux circonférences soient tangentes, il jaut et il suffit que la somme ou la différence île leurs rajvns soit égale à la distance de leurs centres.

1«>7. Le calcul précédent conduit très-simplement aux conditions et intersection de deux circonférences . En effet, pour que les cercles proposés se coupent, il faut et il suffît que les deux couples de valeurs de x et de y, qui vérifient leurs équations, soient réels, et qu’ainsi la quantité soumise au radical dans la formule [/i] soit positive. Or, r étant supposé plus grand que d, les deux premiers facteurs de cette quantité sont positifs; donc il faut que les deux autres aient les mêmes signes; mais ils ne peuvent être négatifs; car si l’on avait -,

d + r — </< 0 et d — r-|-d<0, on tirerait de ces inégalités

r-\-d<^d et r—d^d,

relations qui sont évidemment incompatibles; donc on doit avoir

d -r — et r1 — d'où r -f- r1 > d et r — d<f d.

Ainsi , pour que deux circonférences se coupent , il faut et il suffit que la distance de leurs centres soit moindre que la somme de leurs rajvns , et plus grande que leur différence.

§ II. Tangente à une courbe rapportée A des coordonnées polaires.

1 08. La tangente à une courbe rapportée à des coordonnées polaires se détermine par l’angle M, qu elle fait avec le Fig- Mrayon vecteur mené au point de contact. Mais comme deux droites font deux angles différents, nous conviendrons que cet angle M sera celui qui est formé par le rayon vecteur du point de contact avec la partie de la tangente qui, si on rabattait le rayon vecteur sur l’axe polaire, en le faisant tourner autour du pôle, serait dirigée au-dessous de cet axe. Ainsi, au point Mrr, par exemple, l’angle M a pour valeur TM'O et est obtus, tandis qu’en M il est aigu.

Cela posé, appelons et p les coordonnées du point de contact M, et — {— /e et p — j— A" les coordonnées d’un point M1 de la courbe voisin de M. Tirons MM', et faisons tourner la sécante MMS autour du point M, jusqu’à ce qu’elle devienne la tangente MT. La limite commune vers laquelle tendront les angles OMS et OMS sera ainsi l’angle demandé M. Or, si du point M on abaisse la perpendiculaire MP sur OM', on aura, dans le triangle rectangle MMP,

MP