OM'— OP
formule qui serait encore vraie si l’angle OM'S était obtus; car on aurait alors
tang OM'S = — ~ et MP=—(OM'— OP). Fig. oo.
Or,
OM=p-fÂ-,
OP=p cos/e,
MP=psin/j; .A A
donc
tmrr OIYT^Ç
psin A
2psin-cos-
lüUg WilJL O —
~ p — [— A — peosA
2p siïi5 — -}- A
tang OM'S
Si l’on suppose que le pointM'viennecoïncider avec le point M, le premier membre se réduira à tang M, et le second prendra la forme -jj. Pour en trouver la véritable valeur, je divise haut
et bas par ^ , ce qui donne
expression qui, pour h — ü, se réduit à p lirn j [Trigonométrie, page 42); donc enfin
tang M = p lim ^ [1 6].
Pour démontrer que cette formule est générale, il faudra faire voir qu’elle ne change pas, 1 ° si l’angle M'OV étant plus grand que «, le rayon vecteur OM'<p; 2° si l’angle M'OV
étant moindre que w, le rayon vecteur OjYF est^p. Nous
nous bornerons à vérifier la formule pour le premier cas. Nous aurons alors OM' = p — k , de sorte que la valeur de tang OIVFS ne différera de celle donnée par la formule [/] que * par le changement de k en — 4; donc cette équation [/] convient au cas actuel où k est une quantité négative , et par conséquent l’équation [16] est générale.
159. Pour construire la tangente, on élève au pôle une perpendiculaire OT sur le rayon vecteur du point de contact, et on la prolonge jusqu’à sa rencontre avec la tangente. Cette perpendiculaire se nomme la sous-tangente polaire, et il est clair que, quand on connaît sa longueur, la tangente est déterminée. Pour en obtenir la valeur, je considère le triangle OMT : il donne OT=p tang M, et partant
OT=p’lim~ [17].
Observons que si cette valeur de OT est négative, la sous-
taugente devra être encore comptée sur une perpendiculaire au rayon vecteur du point de contact, mais de manière qu elle fût dirigée au-dessus de l’axe polaire, si l’on rabattait sur cet axe le rayon vecteur mené au point de contact.
160. Pour donner un exemple de la manière dont on doit s’y prendre pour calculer la limite vers laquelle tend le rapport , lorsque h converge vers zéro, nous allons nous proposer de mener une tangente au lieu de l’équation
par le point M de ce lieu qui a pour coordonnées w et p.
Pour déterminer la limite du rapport je remplace , dans l’équation [18], <o et p parw-|-/i et p-}-Æ, ce qui donne
P * a -J- c cos (w -{-/<)’
puis, après avoir renversé les deux membres de chacune de ces équations, je les soustrais l’une de l’autre, et je trouve
i[cos(a)+/0— cos(u]==^— —
ou, en transformant la différence cos(w-|-Æ) — cosw en un produit de dîux facteurs ( Tri :g., 55),
p“nr+*;,,Dr=SFR*
équation que l’on peut mettre sous la forme suivante :
c . ( . h\ SinI -1 ' k
élsin(«-f-aJ. h — p(p +*)•/«•
Passant maintenant à la limite , il viendra
.. k cp’sinw . ,. h P
lim.- = -::-71 — , et partant lim =—r—. — .
A b* ’ r 'X es* sinto
Fig. CO.
Donc enfin
tangM:
lé
c p sin (O
et OT=-
lé
Fig. 01. Pour construire cette valeur de OT, j’élève en O une perpendiculaire indéfinie sur le rayon vecteur OM, et , ayant pris sur le prolongement de l’axe polaire la distance OC=e, je tire par C une parallèle à ce rayon vecteur; ainsi OD=csinw; si donc on prend 01 =ô, et que l’on joigne ID, en menant
IT perpendiculairement sur ID, on auraOT= — : — ; de sorte
r 1 CSUlU)
qu’il suffira de tirer TM pour avoir la tangente demandée.
*161. Il serait facile d c former l'équation polaire de la tangente; mais elle serait trop compliquée pour être de quel-
3ue utilité. En effet, si l’on nomme (J, p') les coordonnées u point de contact, (w, p) les coordonnées courantes de la tangente, p sa distance au pôle et a son inclinaison sur l’axe polaire, on aura pour l’équation polaire de cette droite (77)
Maisyo=pf sinM et a=<i/-|-M, ou — 180°; donc
l’équation polaire de la tangente sera
p' sin M
P— 'sin(w'+M— eu)’ avec les deux conditions
tangM=p' lim| et <p(w', p')=0,
en désignant par <p(w, p) l’équation de la courbe.
*162. Pour mener une tangente par un point donné Fig. 59. C («', p'), situé comme on voudra sur le plan de la courbe, je suppose le problème résolu , c’est-à-dire que CM soit la tangente demandée. Alors, en appliquant au triangle OMC le principe du n° 62 de la Trigonométrie, on trouvera
Enjoignant à cette équation les deux suivantes,
tangM=p linij* et <p(«, p)=0,
on aura tout ce qu’il faut pour déterminer les coordonnées du point de contact.
* i6r». Si l’on veut mener une tangente qui soit parallèle ii une droite donnée , on appellera a l’angle que cette droite fait avëc l’axe polaire, et on verra facilement que
M=a — w, ou que M=l800-f-a — w,
partant tangM = tang(a — «).
On aura donc, pour déterminer les coordonnées w et p du point de contact, les deux équations
tang(a — oj) = plim^ et p) = 0.
