DES ASYMPTOTES

ainsi il s’agira de trouver ce que deviennent les deux quantités

y) p» av» y») + a Vi> /)

pour d=o o et y—cc . Mais il arrivera le plus souvent que ce s quantités se présenteront alors sous la forme J ou il faudra donc, avant d’y introduire ces hypothèses, en éliminer do uy3 au moyen de l’équation de condition <dd,y)z=0, et cheixjçr ensuite les limites des fonctions résultantes en jJ ou en d seulement, de sorte qu’on pourra être ainsi conduit à des calculs excessivement pénibles. M. Cauchy a donné une solution du problème, des asymptotes aussi simple qu’élégante; mais avant de l’exposer, nous allons appliquer la méthode précédente à la courbe représentée par l’équation

djr* — frd-\-dl/= 0.

L’équation de la tangente à cette courbe est, d’après la formule [9] du n° 145,

dy3 y — Ifdx -j- dû* = 0 ,

avec la condition dy31 — lïd1- j- dl/= 0.

Ainsi il s’agit de trouver les limites des quantités

pour.A=*> et/,= oo. La limite de la seconde est évidemment zéro, donc les asymptotes, s’il en existe, passent par l’origine. Quant à la première quantité, j’y remplace^' par sa valeur

ce qui donne rfc

bx

Cette fonction de d se réduit à dr- pour d=<£>\ ainsi

notre courbe a deux asymptotes RR' et SS' représentées par les équations

Fig. 63.

238 GÊOMÊTBIE ANALYTIQUE.

Veut-on vérifier que l’une de ces droites ,

par exemple, est une asymptote, on prendra la différence entre l’ordonnée de cette droite et celle de la courbe qui répond à la même abscisse, et il faudra que cette différence tende vers zéro quand x convergera vers l’infini. Or, si l’on considère la partie de cette droite qui s’étend au-depus de l’axe des .r, on comparera son ordonnée à la valeur positive de y tirée de l’équation de la courbe, valeur que nous désignerons par^\. Nous aurons de cette manière

ou , en changeant x en — x, puisque l’on devra faire croître x négativement,

Mais lorsque x augmente , les deux termes compris dans les crochets augmentent et deviennent infinis en même temps, et l’on a alors ^ — j^=co — oo , expression indéterminée. Pour éluder cette difficulté, je multiplie et je divise le second membre parx-J-V^’ — ce qui donne

a • x j v/prz^ ’

et on voit alors que x croissant indéfiniment, à partir de a , y — y décroît constamment depuis £ jusqu’à zéro, et qu ainsi la partie de la droite

qui est située au-dessus de l’axe des abscisses, est nécessairement une asymptote de la courbe. On en dira autant de son autre partie, et il sera bon de discuter ce second cas, ainsi

que ceux de l’équation j = -{-^x.

106. La méthode que M. Cauchy a donnée pour déterminer les asymptotes rectilignes des courbes est une déduc- Fig. C2. tion directe de leur définition. Soit AB une asymptote de la

A5YMPT0TÈS. — COORDONNÉES RECTILIGNES.

branche de courbe CD , qui n'est point parallèle à taxe des y : son équation sera de la forme y— ex -f- d,

et il faudra qu’en prenant la différence entre cx-\-d et l’ordonnée de la courbe correspondante à la même abscisse x , cette différence soit une certaine fonction V de x qui, à partir de valeurs suffisamment grandes de cette variable , converge vers zéro lorsqu’on fera augmenter x jusqu’à rtoo , suivant que la branche que l’on considère s’étend indéfiniment du côté des abscisses positives ou négatives. L’équation de cette branche de courbe est donc de la forme

y—cx + d+V [1].

c et d sont les inconnues de la question , et il s’agit en conséquence d’en déterminer les valeurs.

Pour y parvenir, je divise l’équation de la courbe par x , ce qui donne

Or, il est clair que le terme

rf + V

tendra vers zéro à mesure

que x augmentera, et qu’il s’évanouira tout à fait pour x = cc , de sorte que c est la limite du second membre de l’cquation précédente, et par conséquent aussi celle du premier; donc

c = lim

Supposons que l’on ait ainsi trouvé la valeur de c, nous la substituerons dans l’équation [ I ] , et en transposant le terme ex , nous en tirerons

y — cx=</-f-V,

ce qui montre que d est la limite du second membre , puisque V=0 quand x=co ; donc

d=\\m(y — ex) .

La détermination des asymptotes d’une courbe se trouve ainsi ramenée à calculer successivement les limites vers les-

quelles tendent les fonctions ^ et (jr — <cx ), lorsque x croît au delà de toute limite assignable.

Pour obtenir la première de ces limites, j’observe d’abord que l’équation de la courbe proposée étant supposée algébrique et de l’ordre m, nous pourrons réunir tous les termes du même degré et mettre la plus haute puissance de x que renfermera chaque groupe en facteur commun de tous les termes de ce groupe; ainsi le terme kj-pxn~p, qui est du degré p,

revient à xn~p. De cette manière chaque puissance de x

multipliera une certaine fonction de ^ , de sorte que l’équation proposée sera de la forme*

F ® ••rm+F‘ (i) • •rra'+F*(;) ■**-'+■ • • •= 0 [2]-

Cette équation fera connaître le rapport ~ de l’ordonnée d'un

point quelconque de la courbe proposée à son abscisse en fonction de cette abscisse ; elle revient à

Or, à mesure que x augmente, les termes qui ont pour dénominateurs les diverses puissances de x diminuent, puisque

lim - est une quantité finie, de sorte que tend vers zéro : donc les valeurs-limites de - c’est-à-dire les valeurs de c sont

les racines réelles de l’équation

F©=° ra-

Pour obtenir la limite de la différence — ex), je représente par \> cette différence, ce qui donne p=cx- {- v, et en

* Si cette équation était , par exemple , celle des courbes du second ordre

A/+Bx/+Cr*4-D/-fEx-|-F=0, on lu mettrait sous la forme

substituant cette valeur dey clans l'équation [2] , on aura une équation

qui déterminera v en fonction de a;, de sorte qu’en y faisant x=zc , la valeur correspondante de v sera la limite cherchée de la différence (y — ex).

Or, si on développe chacun des coefficients de x dans l’équation précédente, d’après le théorème des fonctions dérivées {A Ig., 535), et que l’on ordonne encore l’équation résultante par rapport aux puissances décroissantes de .r , il viendra

rF'(c)|x">-‘ -f- — F'(c) . . .= 0 [4] ;

+ F,(C)I 4- ; Mc)

car c étant une racine de l’équation F quement F(c)=0. On en tire

on a identi-

Si on suppose x—cc, v atteint sa limite cl , et cette équation se réduit à

<fl»(<0+F.(c)=O doii [6],

1 67. On déduit des formules [3] et [6] la règle suivante : Pour déterminer les asymptotes d' une courbe de l’ ordre m , qui ne sont point parallèles a l'axe des y, mettez xm en facteur commun des termes du m1*™ degré , et égalez à zéro le coefficient de xm. Les racines réelles de l’équation résultante F 0^=0 seront les valeurs du coefficient angulaire c de L asymptote.

Remplacez ^ successivement par chacune de ces valeurs

dans le coefficient qu’a xm~‘, lorsqu’on a mis cette puissance de x en facteur commun des termes du (m — 1)“”* degre, et

divisez la quantité ainsi trouvée pas le résultat qu'on obtient *

en remplaçant ^ par sa valeur dans la dérivée de F , prise

en signe contraire ; vous aurez ainsi l'ordonnée d à l'origine de F asymptote.

La droite y=cx-{-d ainsi déterminée sera l’asymptote d’une branche de la courbe représentée par l’équation [2]; en effet, l’équation de cette branche étant représentée par