Il suit de cette règle, 1° que si l’équation proposée
* Ainsi en appliquant la règle du n° 1G7 et les remarques du n° 168 à l’équation
.rl— â.r1/-)- xV-j- 2.d— 2.r*r— /+ 2/— 2x = 0 ,
on verra que
doncF(c) = l — 2<.'-J-cs=(c — 1)’; de làc = t, F’(c) = 2(r — 1) = 0,
= F,(c)=0, F*, (<•)•= — 2 , Ffc)=z 1 , da-2d+l=0,
d’où d-\- de sorte que l’on trouve y =.x-\-\ pour équation d’une asymptote, et cependant la courbe n’a pas d'asymptotes; car, comme on tire de son équation
on voit que ses brandies ne s’étendent pas au delà de l'abscisse 1 .
n’a pas de terme du degré m où entre y, la courbe qu’elle représente n’aura pas d asymptote oblique à l’axe des y.
2° Que si i’cquation proposée n’a pas de terme du degré ( m — I), d— 0, et ainsi les asymptotes passent toutes par l’origine.
3° Que si l'équation = 0 a des racines égales, les valeurs de d correspondantes à ces racines sont infinies ; car elles vérifient F = 0, et qu’ainsi elles ne déterminent pas en général d'asymptotes.
4° Que si une racine multiple de F = 0 anéantit
F, , la valeur de d deviendra $. Mais alors l’équation [5]
d’où l’on a tiré la formule [G] ne pourra plus déterminer cette inconnue, puisque l’équation [4] d’où elle découle se réduit dans l’hypothèse actuelle à
[fl F"(C) + ‘'F'.(C)+F.(C)] •z"-1+etc. = 0;
il faut donc faire x=co dans cette équation, ce qui donnera
^F'(c)+<ff,W+FJt«)=0.
Ainsi à la racine multiple de F ^ = 0 qui a anéanti F,
correspondront deux asymptotes, dpnt une est située à l’infini, si cette racine est triple.
On agira semblablement si la valeur particulière de c
dont il s’agit anéantit les trois fonctions F' ^ , F, ,*
1(>9. 11 est bon d’observer que, si l’équation proposée ÿ(-£, y)= 0 est de la forme (ny-\-/rr-\-rj).^{x,y) = 0, la droite qui a pour équation ny-ypx -|-<jr=0 étant ellemême sa propre asymptote, on trouvera nécessairement cette droite en cherchant les asymptotes du lieu géométrique de l’équation <p(.r , y) — 0 ; d’où il suit qu’avant d’admettre comme asymptote une des droites trouvées, il faudra essayer
de diviser ç(x, y) par le premier membre de l’e'quation de cette droite, ramenée à la forme ny-\-px-\-q=Q.
170. Pour déterminer les asymptotes parallèles à l’axe des^-, on observera qu’en mettant l’équation d’une pareille asymptote sous la forme
x=êyAr<$,
on pourra trouver toutes les asymptotes qui ne sont pas parallèles à l’axe des x; mais, comme il ne s’agit plus que de celles qui sont parallèles à l’axe des y, il faudra ne s’occuper que des valeurs de é égales à zéro.
Au reste , on pourra toujours déterminer très-simplement de la manière suivante les asymptotes qui sont parallèles à l’axe des y. En effet , si
est l’équation d’une pareille asymptote, il faudra que y tende vers l’infini à mesure que x s’approchera de k\ et réciproquement, si cette condition est satisfaite, la droite représentée par l’équation x = k sera une asymptote. La détermination des asymptotes parallèles à l’axe des^ se réduit donc à la recherche des valeurs de x qui rendent^ infinie. Pour cela, on divisera les deux membres de l’équation proposée par la plus haute puissance de y qu elle renferme, et en y faisant ensuite y= oo , on obtiendra une équation en x dont les racines réelles seront les différentes valeurs de k.
Remarquons que le premier membre de cette équation sera précisément le coefficient de la plus haute puissance de y dans la proposée. Si donc ce coefficient est indépendant de x, il n’y a pas d’asymptote parallèle à l’axe des ordonnées; mais s’il renferme x, il n’y a qu’à résoudre l’équation formée en l’égalant à zéro, pour avoir immédiatement la position des asymptotes demandées.
f!171. Appliquons les règles que nous venons d’établir aux courbes représentées par l’équation générale du second degré
A/-fBx^4-Cx5-j-D;'4-Ex4-F=0.
Je mets donc x? et x respectivement en facteur commun des
termes du second et du premier degré, et il viendra
[A (i)’ + Bï+c] .*'+ [rfJ+E] *+F=0; donc on aura
( c ) = kà - (c)=2Ac- (c)=Dc -
-Bc-(-C=0,
Ainsi l’équation des asymptotes est
j=cx
De +E 2Ac-J-B
Comme les racines de l’équation Ac*-|-Bc-j-C=0 ne sont réelles que si B’ — 4AC 0 ou =0, on voit qu’il n’y a
pas d’asymptote si B’ — 4AC<0. Il n’y en a pas non plus si B* — 4AC=0; car alors les racines de Ac*-)-Bc-|-C=0 étant égales, la dérivée 2 Ac-(- B de son premier membre est nulle ( 1 68,3°). Donc il n'y a d’asymptotes que si B* — 4AC|>0, et alors il y en a deux *.
* Lorsque l’équation de la courbe, dont on demande les asymptotes, est susceptible d’étre résolue par rapport à l’une des variables, on peutcalculer directement, par la résolution de l’équation proposée, les limites vers
lesquelles tendent les fonctions - et {y — ex), lorsque la variable x tend
elle-même successivement vers l’infini positif et vers l’infini négatif, en suivant, pour cela, la marche dont nous avons donné un exemple au n“ 105.
Nous allons appliquer cette méthode aux courbes du second ordre. Pour éviter toute confusion, il sera bon de considérer l’une après l’autre les deux, valeurs de y que l’on tirera de l’équation générale du second
degré
Bx-fD I
±i£^n*t+<iPx-SCrIi
en posant pour abréger
B* — AAC = n , BD — 2AE = p , D’ — 1AF = </.
On trouvera ainsi pour la première branche, en faisant croître x positivement ,
\Jnxt-\- 2 px -(- </
2Ax
Lorsque A=0, auquel cas cette condition est remplie, si B
et x croissant négativement (on commence par changer x en — x, et ensuite on fait croître x positivement dans le résultat),
.r-B+ï JnJ-ïpx+'i -B+ï~vA“T+S.
x 2A 2Ae SA ’
doù c=— 2— ’
puis, en prenant successivement la première et la seconde valeur de c,
2A(\Zn+ï+|i+v''')
2Ay/ n
y—ex=
! no? — 2 \px -|- q — x\fn D
d'où d=-p~^n.
-Ay ’n
Ainsi la droite y— — B^~ est asymptote de la partie
de la branche
qui s’étend dans le sens des abscisses positives, et l’autre partie de cette branche a pour asymptote la droite
' - — B — y/« /■’ + Dy/»
On trouvera de la même manière que la première droite est aSyroptote de la partie de la branche
Bar-f-D i p— *
r" s’étend dans le sens des abscisses négatives, tandis que l’autre partie cette branche a la seconde droite pour asymptote.
n’est pas nul, l’une des racines de F(c) = 0 est infinie, et alors l'asymptote qu’elle détermine doit être parallèle h l’axe des y. Mais, comine la règle du n° 167 n’a été établie que pour les asymptotes qui ont une autre direction, il faut appliquer ici la règle du n° 170. J’ordonne donc l’équation proposée par rapport aux puissances décroissantes de y, ce qui donne
(H*+ D)j-KGLJ-f-Er +F)= 0 ;
et je vois qu’il y a une asymptote parallèle à l’axe des ordonnées dont l’équation est
Bx-f-D=0, d’où x— — ?.
Voyons donc si cette équation est un cas particulier de l’équation [7]. En conséquence, nous allons y faire A = 0 et partant c= oo ; mais auparavant nous diviserons ses deux membres par c , ce qui donnera
X~ c + 2Ac+B'
Quand on y fera A=0, les termes - et - s’évanouiront, mais
le terme A c deviendra 0 X oo . Pour en obtenir la vraie valeur, je divise l’équation Ac’-4-Bc-)-C=0 par c, puis en y faisant c= oo , je trouve qu’elle se réduit à Ac-J-B=0, d’où A c— — B. L’équation des asymptotes deviendra donc
Ainsi l’équation [7] donne toutes les asymptotes que peut avoir la courbe représentée par l’équation générale du second degré lorsque B* — 4AC^>0.
Remarquons que si D = 0, l’équation ci-dessus se réduit à x — 0.
172. Donc quand le carré de y manquera dans P équation du second degré, cette équation représentera une courbe qui aura une asymptote parallèle à l’a ve des y, et qui sera cet axe lui-rhérne, si le terme du premier degré en y manque aussi. Les mêmes propriétés ont lieu par rapport à l’axe des x-7 car si l’on y permute x et y, ce qui revient à prendre l’axe
des abcisses pour celui des ordonnées, et réciproquement on a toujours B" — 4AC^>0-
173. Il suit de là que si T équation du second degré ne renferme que le rectangle des variables et un terme constant, elle représentera une courbe rapportée à scs asymptotes , comme on peut le reconnaître directement en résolvant l’équation
Bxr-j-F=°*
successivement par rapport à chaque variable et en faisant ensuite croître l’autre jusqu'à rfc oo.
Si en outre F = 0, cette courbe se réduit au système de deux droites qui se coupent.
174. Enfin si C= — A, et que les axes des coordonnées soient rectangulaires, les deux asymptotes se coupent à angles droits; car le produit des racines de l’équation F(c)=0 est alors égal à — 1. Ainsi quand les coefficients des carrés t les variables sont égaux et de signes contraires dans l'équation du second degré en coordonnées rectangulaires , cette équation représente une courbe qui a deux asymptotes perpendiculaires entre elles.
§ II. Asymptotes d’une courbe rapportée à des coordonnées polaires.
173. lorsqu'une courbe est rapportée à des coordonnées polaires, on connaîtra d’abord toutes les directions que peuvent avoir ses asymptotes, en cherchant les valeurs de <•> qui donnent pour p une valeur infinie. Pour cela, on ordonnera l’équation proposée par rapport aux puissances décroissantes de p, on égalera ensuite à zéro le coefficient de la plus haute puissance de cette variable (170), et en résolvant l’équation ainsi formée, on en tirera différentes valeurs ul, t/, J"... d eu. Ce seront là les iriclinaisons des asymptotes sur l’axe polaire , de sorte que, pour achever de déterminer ces droites, si elles existent, il suffira de calculer leurs distances au pôle. On y parviendra par les mêmes considérations sur lesquelles nous nous sommes appuyés dans ce qui précéder
Regarde-t-on , en effet , l’asymptote comme la limite vers laquelle tend la direction d’une tangente dont le point de
contact s’éloigne indéfiniment : il ne s’agira que de construire, au moyen de la sous-tangente polaire,
OT = PMim'*,
les tangentes correspondantes aux valeurs trouvées <■>=<</, =«i =ww, etc., et p = oo . Ainsi ce procédé ne présente pas d’autre difficulté que celle de trouver ce que devient l’expression précédente de OT quand on y suppose, par exemple, u=w' et p=oo . Si cette valeur de OT n’a point de limite, la courbe n’a pas d’asymptote.
Prenons pour exemple l’équation
' a — ccosw
a, b, c étant trois constantes liées entre elles par la relation <?=a'+b\
Pour que p soit infini, il faut et il suffit quecosw=~, et si
l'on appelle a le plus petit des arcs positifs qui ont " pour cosinus, la formule de tous ces arcs sera w=2^T:rt«; mais comme en donnant à w des valeurs plus grandes que 360°, on retrouve les mêmes valeurs de p, et par conséquent les mêmes points qu’en faisant croître w depuis zéro jusqu’à 360°, on n'a pour w que les deux valeurs a et 3Gü° — a.
Cela posé, j’observe que l’équation de notre courbe ne différant de celle que nous avons considérée au n° 1 60 que par le signe de c, la valeur de OT que nous cherchons ne différera de celle que nous avons trouvée alors que par le signe de cette constante : donc
csinii/
Mais cosw=- donne sin u=rt t /- — r-=tL*; donc
OT = zcô.
Ainsi, il y a deux asymptotes distantes du pôle de la quantité ô, et faisant avec l’axe polaire les angles qui ont ? pour
cosinus. La première valeur de OT répond au plus petit de ces angles, et la seconde au plus grand.
Fig. 63. Pour construire ces asymptotes, je prends OC=c, CA=a; j’élève au point A une perpendiculaire que je coupe par un arc de cercle décrit de C comme centre avec le rayon c, et
l’angle ACD, et son supplément^ 3G0° ont - pour cosinus,
de sorte qu’en menant par O des parallèles aux côtés CD et CD de ces angles, nous aurons les directions des rayons vecteurs qui sont infinis. Il faut donc leur mener des parallèles qui en soient distantes de b et qui soient situées du côté de CD et de CD (169). Or, si l’on abaisse OB perpendiculaire sur CD , on forme un triangle OBC égal à CAD ; partant OB = AD = y/? — a1— b] donc CD est la première asymptote. Par la même raison, CD est la seconde.
176. La seconde méthode pour déterminer les asymptotes des courbes rapportées à des coordonnées polaires découle Fig. 62. de la définition même de ces lignes. Désignons, en effet, par ta' une valeur de ta pour laquelle p est infini , on prendra sur la courbe un point quelconque M , duquel on abaissera une perpendiculaire MQ=z sur la direction de ce rayon vecteur OQ, et on aura ainsi
z=psin(ta' — ta). *
La limite vers laquelle tendra z lorsque l’angle o> convergera vers ta' sera la distance OA du pôle à l’asymptote. Si cette limite est zéro, on en conclura que la droite qui fait l’angle ta' avec l’axe polaire est l’asyinptotc ; mais , si l’on trouve limpsin(ca' — (a)==h/f, l’asymptote sera une parallèle à cette droite située au-dessous ou au-dessus d’elle, par rapport à l’axe Fig. 64. polaire , et à la distance k. En effet , dans la figure 64 on a
z = p sin(w — «a'),
de sorte que
OA= — limp sin(ca' — ta),
et ici la perpendiculaire OA sera dirigée au-dessus de l’axe polaire quand le rayon vecteur infini OQ sera rabattu sur cet axe; ce sera le contraire dans la figure 62.
Enfin , si z n’a pas de limite , il n’y a pas d’asymptote qui fasse l’angle J avec l’axe polaire.
Pour déterminer la limite du produit psin(w' — <o), on pourra observer qu elle est la même que celle du produit p {«o' — w); car, lorsque w = t>/, les quantités (<o' — w) et sin — co) deviennent égales , puisque la limite de leur
sin (co — <i)) i, . , ~ ,
rapport — # - est 1 unité. On éliminera donc p entre
11 tu — ti> *
l'équation z = p(iJ — w) et eclle <p(w, p)=0 de la courbe proposée, puis ou posera J — w = a, d où (o=tu' — a; de cette manière ^sera exprimé en fonction de <J et de a, et en cherchant ce que devient cette fonction pour a—0 , on aura sa valeur pour <■>=<■/.
GÊOMÊTBIE ANALYTIQUE.
