DU CENTRE

177. On appelle centre d'une courbe un point tel que toute sécante passant par ce point rencontre la courbe en des jx>ints qui sont deux à deux équidistants du point dont il s’agit.

178. Il suit immédiatement de cette définition que si l'origine des coordonnées est placée au centre d’une courbe quelconque, l’équation de cette courbe ne sera pas altérée si

Fig- 65. l’on y remplace x et p par — x et par — y. Considérons, en effet, une sécante menée arbitrairement par le centre O : elle coupera la courbe en des points qui seront deux à deux équidistants de O. Soient M et M' deux de ces points. Tirons leurs ordonnées MP et M'P', et nous formerons deux triangles OMP et OM'P' qui seront évidemment égaux : donc MP=M'Pf et OP=OP'; donc les coordonnées du point M' sont égales et de signes contraires à celles de M; donc, puisque la sécante MOM' est quelconque, les coordonnées de tous les points de la courbe seront deux à deux égales et de signes contraires , de sorte que l’équation de cette courbe ne décru pas changer si l’on y remplace x et y par — x et par — y.

Réciproquement, si l'équation dune courbe n’est pas altérée lorsqu'on y change x et y en — x et en — y, cette courbe a pour centre l'origine des coordonnées. Soit, en effet, M un point quelconque de la courbe dont il s’agit, menons par l’origine la droite MO, et prolongeons-la d’une quantité OM' égale à OM, il est clair que les coordonnées du point M' seront égales et de signes contraires à celles du point M ; mais l’équation de la courbe ne change pas lorsqu’on y remplace x et^‘ par — x et par — y, puis donc que les coordonnées de M satisfont à cette équation , celles de M' la vérifieront aussi; donc M' est un point de la courbe. Or, MOM' est une sécante quelconque; donc toute sécante menée par l’origine coupe la courbe en des points qui, deux à deux , sont également distants de O; donc O est un centre.