DD CENTRE

Ainsi la condition nécessaire et suffisante pour que Porigine des coordonnées soit un centre d' une courbe quelconque , algébrique ou transcendante, c’est que Péquation de cette courbe ne soit pas altérée lorsqu'on y changera x et y en — x et en — y.

11 suit de là que la courbe transcendante ^=sin x a pour centre l’origine des coordonnées, et qu’elle a même une infinité de oÉftïres qui sont les points où elle coupe l’axe des.r; car, si l’on transporte l’origine des coordonnées sur cet axe au point dont l’abscisse est /en, cette équation deviendra ^•==sin(ATT-|-x:)=zh:sin.r, équation qui reste invariable, quand on y remplace x et y par — x et par — y. Il sera facile de discuter l’équation de cette courbe qu’on a nommée la sinussoïde , et de reconnaître exactement sa forme.

179. Si la courbe proposée est algébrique, la condition ci-dessus énoncée revient à la suivante : Pour que l'origine des coordonnées soit le centre d'une courbe algébrique , il faut et il suffit que tous ses termes soient de meme parité, c’est-à-dire tous de degré pair ou tous de degré impair. Soit, en effet, A xpyq un terme quelconque de cette équation : si ( p-\-q ) est pair, p et q sont tous deux pairs, ou tous deux impairs : dans ces deux cas, le terme A xpyv ne changera pas de signe lorsqu’on remplacera x et y par — x et par — y, mais le contraire aura lieu si ( p-\-q ) est impair; car l’un des exposants p ou q étant pair et l’autre impair, un des facteurs du produit xpyq deviendra négatif, tandis que l’autre sera positif. Donc, si l’équation contenait des termes qui fussent les uns de degré pair, et les autres de degré impair, elle serait altérée lorsqu’on y remplacerait x et^- par — x et par — y, au contraire, elle ne sera pas altérée par ce changement, si ces termes sont tous de degré pair ou tous de degré impair.

La courbe y= x* que nous avons construite au n® 52, a pour centre celui de ses points où est placée l’origine.

180. Il suit de la théorie précédente que pour reconnaître si une courbe algébrique donnée par son équation a un centre, il faudra représenter par a et par b les coordonnées inconnues de ce centre , y transporter l’origine en changeant dans son équation x et y respectivement en x -|- a et en y b (95), puis égaler à zéro les coefficients de tous les termes qui, dans la transformée, seront de degré impair, si

25 h GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

cette équation est de degré pair, ou ceux de tous les termes de degré pair, si elle est de degré impair. Les équations de condition ainsi formées serviront à déterminer a et b. La courbe proposée aura donc un centre, si l’on peut tirer de ces équations un couple de valeurs réelles et finies pour a et b, et elle n’en aura pas si les équations de condition n’admettent pas de pareilles valeurs. Si ces équations sont indéterminées, il y aura une infinité de centres. Êf,

181 . Or, il est très-remarquable qu’une courbe algébrique ne puisse pas avoir plusieurs centres*. Supposons, en effet, G5. qu’une pareille courbe puisse avoir deux centres A et O : prenons l’un d’eux O pour origine, faisons passer l’axe des^par l’autre centre A, et soit ç(.r,^) = 0 l’équation de la courbe rapportée à ce système d’axes. Cette équation aura tous ses termes de même parité , et elle devra conserver la même forme si l’on transporte l’origine au point A (179), ce qui se fera en changeant y en y-\-b dans <p(x,y)=0. Or, si ky'x ? est le terme de celte équation où y a le plus haut exposant (p peut être nul) , il y aura dans la transformée le terme nAbyn~lxp qui ne pourra se réduire avec aucun autre; car la proposée ne renferme aucun terme semblable à celui-ci. Donc l’équation transformée n’aura pas tous ses termes de même parité, si la proposée renferme y. Cette proposée n’est donc fonction que de x , et représente par conséquent , non pas une courbe, mais un système de droites parallèles à l’axe des^*, et qui en sont deux à deux équidistantes. Chacun des points de cet axe est un centre de ce système de parallèles , et cet axe est même l’une de ces droites, si l’équation est de degré impair.

* Cela résulte de ce que , parmi les équations de condition , il y en a toujours deux qui ne renferment a et b qu’à la première puissance. C'est ce qu’on reconnaît facilement en considérant les deux premiers termes de l’équation générale du degré ni à deux variables , savoir : 0|)J.»( (a^y é,)*"-1; car, en y remplaçant x et y respectivement par a- j-x et |>ar è-f-.v, on trouve (pie le coeflicient de r*-1 est ma^i-\-aib-\-bl . S’il n’y avait pas de terme en x seulement , ce coefficient se réduirait à rtib-\-l\, c’est-à-dire qu'il ne renfermerait que l’une seulement des deux quantités a et b. Les termes en y* et en y*-1 conduiraient de même à une équation du premier degré en a et en b.

Dü CENTRE.

182. Appliquons la règle du n° 180 aux courbes représentées par l’équation générale du second degré

À^+Rrj-f Cr1-fD/+ Rr-f-F = 0 [1].

Changeons-y donc x et y respectivement en (x -f- a) et en (y+ b ), et il viendra

--B ab --C «* --1)4 --E « --F

Remarquez avec soin que les termes du second degré dans cette transformée sont les mêmes que dans la proposée ; que les coefficients de x et de y sont les dérivées respectives, par rapport à x et par rapport à y, du premier membre de l’équation [ I], dans lesquelles on a remplacé x et y par les coordonnées a et b de la nouvelle origine, et que le terme indépendant des variables est le résultat de la substitution de ces quantités a et b au lieu de x et de y dans le premier membre de [1].

Pour que le lieu de l’équation ci-dessus ait un centre, il faut et il suffit que l’on puisse trouver un couple de valeurs de a et de b qui vérifient les deux équations

- Ba-

Or, si l’on regarde a et b comme des coordonnées courantes, ces deux équations représenteront deux lignes droites qui passeront chacune par le centre et qui le détermineront par leur intersection. Ainsi , pour que ce centre existe, il faut et il suffit que les droites représentées par les deux équations cidessus se coupent, ou, ce qui revient au même, que les coefficients angulaires de ces droites soient inégaux (124), c’està-dire que l’on ait

— ix<— ï’ oubien B‘—4AC<o-

Telle est donc la relation nécessaire et suffisante qui doit

exister entre les coefficients de l’équation générale du second degré pour que le lieu de cette équation ait un centre.

Mais si l’on a B’ — 4AC— 0, il en résultera — hh = —

et les coefficients angulaires des droites représentées par les équations [2] étant égaux, ces droites seront parallèles; donc le centre qui doit être déterminé par leur intersection n’existera pas. Et, en effet , B* — 4AC étant le dénominateur des valeurs