2AE— BD , 2CD— BE

Ci Bs — 4AC ’ ’ B* — 4 AC

qu’on tire des équations [2] , ces valeurs deviennent infinies lorsque B* — 4AC = 0, et par conséquent les équations de la simultanéité desquelles dépend l’évanouissement des termes de degré impair étant incompatibles, comme on le démontre dans V Algèbre (146), on voit qu’il ne peut pas y avoir alors de centre.

Si les droites représentées par les équations [2] coïncident, ce que l’on exprimera en posant

2A B" Ct 2A B’

ou, ce qui revient au même,

B’ — 4AC=0 et 2AE — BD=0,

la courbe aura une infinité de centres, tous situés sur la droite que représentent alors également les deux équations [2]. C’est ce qu’indique l’Algèbre; car les valeurs trouvées pour a et b se réduisent à JJ, dans les hypothèses actuelles, et on sait qu.' dans ce cas, l’une des équations [2j est le produit de l’autre par un certain facteur, de sorte qu elles ne tiennent lieu que d’une seule, et ne sauraient en conséquence suffire pour déterminer a et b {Algèbre, 147) : il y a donc une infinité de couples de valeurs de a et de b au moyen desquelles on pourra faire évanouir de l’équation générale du second degré, les termes de degré impair, et partant il y a une infinité de centres. Cette équation devra alors représenter, non pas une courbe, mais le système de deux droites parallèles à la droite

2A4-fBa-fD=0

Dü CENTRE.

et qui en seraient également distantes (1 81). En effet, si l’on résout l’équation [1] par rapport à^, on trouvera

y—— ^^±±v(B,-4AC>r1+2(BD-2AE>r+Dî-4AF,

formule qui, en vertu des hypothèses,

B* — 4AC=0 et 2AE — BD = 0,

se réduit à jr— — Pdb — 4 AF [3].

Si D* — 4AF]>0, cette équation représente deux parallèles Fig. 66 CD et EF à la droite AB, qui a pour équation

ou 2Àr+.Rr+D=o>

et qui en sont également éloignées. Ainsi cette dernière équation, qui n’est d’ailleurs que la première des équations [2J, représente le lieu des centres du système des droites comprises dans l'équation [3].

1 83- Remarquons que le centre tCune courbe du second ordre se trouce déterminé par l' intersection des droites qui ont pour équations les dérivées de l’équation de cette courbe prises successivement par rapport à x et par rapport à y,

B^-f^Gr + E^;

et qu'ainsi, pour exprimer qu’une pareille courbe a pour centre un point donné, il faut écrire que ses coordonnées a et b vérifient ces deux équations. On a donc alors les deux équations de condition

2AA + Brt-fD — 0,

B£-j-2Ca j El — o,

entre les coefficients indéterminés de la proposée, ce qui montre que la détermination du centre équivaut à deux conditions.