CHAPITRE VIII
DF.S DIAMÈTRES
184. On appelle diamètre une ligne qui divise en deux parties égales un système de cordes parallèles.
Si un diamètre est une ligne droite , et qu’il soif perpendiculaire à ses cordes conjuguées, c’est-à-dire aux cordes qu’il divise en deux parties égales, on lui donne te nom z/axk , et les points où il rencontre la courbe sont dits les sommets de cette courbe.
188. Nous allons nous proposer de trouver V équation générale des diamètres d’une courbe donnée par son équation.
Fig. 67. Première Métoode. Soient y(x,/)—0 l'équation rationnelle et entière de la courbe proposée, AB, A'B',.. un système de cordes parallèles dont le coefficient angulaire est m; (x',y) les coordonnées du milieu M de l’une d’elles: transportons l’origine au point M. L’équation de la courbe rapportée aux nouveaux axes sera ^(x-ÿx’ , = Q , et
la corde AB aura pour équation y=.mx. Puis donc que la nouvelle origine est le milieu de cette corde AB, il faudra qu’en éliminant^” entre les équations <p(x-l-.é, y-\-y>) = 0 et y=mx, l’équation résultante (j/(.z) = 0 ait deux raqines égales et de signes contraires. Il devra donc y avoir un plus grand commun diviseur du second degré entre son premier membre et — .r), ou, ce qui revient au même, entre la
somme des termes de degré pair de l’équation = 0 et la somme de ses termes de degré impair divisée par x^Alg., 861). On cherchera ce plus grand commun diviseur, et en égalant à zéro le reste correspondant au diviseur du second degré, lequel reste sera indépendant de x, on aura une équation entre les coordonnées X* et y du milieu de la corde AB et la constante m. Or, cette équation ne renfermera rien de particulier à cette corde; donc la relation qu elle établira entre les coordonnées de son milieu conviendra également aux coordonnées du milieu de toute autre corde dont le co~
DES DIAMÈTRES
efficient angulaire est encore m\ donc elle sera l’équation du lieu de tous ces milieux, c’est-à-dire l’équation générale des lignes diamétrales de la proposée y(x, y)~0.
Deuxième Méthode. Soient ^) = 0 l’équation de la courbe proposée, et y=mx n celle d’une sécante Fig. 61. quelconque AC. Si nous voulons avoir les abscisses des points d'intersection de ces deux lignes, il n’y aura qu’à éliminer y entre leurs équations, et ces abscisses seront ainsi les racines de l équalion ç(.c, nu -j- n) t= 0.
Cela posé , soient x' et jr1 les coordonnées du milieu M de l’une quelconque AB des cordes que la sécante laisse dans la courbe : nous aurons entre ces coordonnées la relation
y =l r/ix1 n ,
et x1 sera la demi-somme des abscisses des extrémités de cette corde. Donc l’équation qui a pour racines les abscisses des milieux de toutes les cordes interceptées par la courbe sur notre sécante est précisément l’équation aux demi-sommes des racines de l’équation <tfx, mx -J- n) = 0 . Formons cette équation , et appelons-la
Alors, si entre les équations / = rnx1 -|-/t et t(x') = 0 nous éliminons la quantité n, qui varie en passant d’une sécante à une autre qui lui est parallèle, l’équation finale
sera l’équation du lieu des milieux de toutes les cordes dont le coefficient angulaire est m , c’est-à-dire l’équation générale des lignes diamétrales de la courbe proposée.
187. Cette méthode s’applique très-bien aux courbes du second et du troisième ordre; car elle ne présente d’autre difficulté de calcul que la formation de l’équation aux demi-» sommes des racines de l’équation <tfx, rnx-\-n)= 0 ; et quand cette équation est d’un degré inférieur au quatrième, on peut écrire immédiatement son équation aux demi-sommes ( AU 831). Mais elle devient presque impraticable si l’équation proposée est d’un degré supérieur au troisième. La première lui est préférable même pour les courbes du second ordre , et surtout pour celles d’un degré plus élevé que le troisième. On
voit, en effet, que l’équation ty(x)=<^x ^x\ y3 ^ mx)==-Q du n° 1 85 se formera très-facilement au moyen du théorème de Taylor, étendu aux fonctions de deux variables ( Algèbre , 341), et ensuite que la recherche du plus grand commun diviseur entre la somme des termes de .degré pair de cette équation £t celle de ses termes de degré impair divisée par x, ne sera pas, en général, bien longue, puisque chaque diviseur ne renfermera que des termes de degré pair, et sera ainsi d’un degré inférieur au moins de deux unités à celui du précédent.
Exemple. Soit y(x, y) = xy*-\-yx? — câ = 0. Nous trouverons
^x)=xy
+jx
'f/cy-f2*')
rm1
Lr*=0.
Pour abréger, nous représenterons cette équation par
<K*) = hxs + B.*1 -f Cx-f D = 0.
La somme des termes de degré impair est (Aæ* C)r , celle des termes de degré pair est B r® -)- D ; il faut donc que l’un quelconque des binômes Ax’-f-C et Br* - j- D divise l’autre,
CD
ce qui donne l’équation de condition -= - , ou BC — AD=0.
Substituant enfin aux lettres A , B, C, D les quantités qu’elles représentent, on trouvera,, en supprimant les accents,
|>+ 2/K7+ x) + m’x] • 0(7+2'r) + nut(x-\-2y)\ — m(m -{- 1 ){xy' -\-yx? — c?)= 0.
Telle est l’équation cherchée.
188. Prenons pour deuxième exemple 1 équation générale du second degré
A71 -f Bcr^ -f Cx* -j- Dj -f- Er -f- F === 0 .
Il suit de la remarque que nous avons faite au n° 182, que si , dans le premier membre de cette équation , on remplace x et y par x-\-x' et par y-\-}J, les coefficients de y et de x seront respectivement 2Ay'-}-B.r,-|-D et B/,-j-2Gr'-|-E, de sorte que* quand on aura remplacé y par mx , le coeffi-
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cient de la première puissance de x dans l’équation transformée sera
(2A / + Bx' + D>n + (B/ -f- 2Cr'-j- E) :
mais, pour que cette équation ait ses racines égales et de signes contraires, il faut et il suffit que le coefficient de cette première puissance de x soit nul, c’est-à-dire que l’on ait
(2Aj+Kr-fD)m-f(B^-|-2Ca;+E)=0 [5],
en supprimant les accents. Telle est donc l’équation générale des lignes diamétrales des courbes dü deuxième ordre. Pour la former, ajoutez à la dérivée du premier membre de F équation de ces courbes, prise par rapport à x, le produit par m de la dérivée par rapport à y de la même équation , et égalez la somme à zéro.
189. La forme de cette équation donne lieu à diverses conséquences que nous allons développer.
On voit , 1° que les courbes du second ordre ne peuvent avoir que des diamètres rectilignes.
2° Que la tangen te à F extrémité cF un diamètre est parallèle à ses cordes conjuguées ; car de l’équation générale des
Br+2Cx-f F.
diamètres on tire m-
et cette valeur de ni
SAj+Bx+D’
est précisément le coefficient angulaire de la tangente au point
La tangente menée au / xnnt où une courbe du second ordre est coupée par son axe, est donc perpendiculaire à cet axe.
3" Tout diamètre passe par le centre; car il est évident que les coordonnées de ce point satisfont nécessairement à l’équation générale des diamètres , puisqu’elles ne sont autres (183) que les valeurs de x et de jr qui vérifient les équations
2A/-j-Rr-J-D = 0 et B^-|-2(lr-}-E=:0.
4° Réciproquement , toute droite menée par le centre (F une courbe du second ordre est un diamètre de cette courbe; car si
jr — b-=.ni[x — a )
est l’équation de cette droite , a et b désignant les coordonnées
du centre, il suffira, pour la faire coïncider avec un diamètre, d’égaler leurs coefficients angulaires, c’est-à-dire de poser
2A/w-fB
Or, on pourra toujours satisfaire à cette équation, puisqu’elle est du premier degré par rapport km, et que cette inconnue est susceptible de recevoir toutes les valeurs possibles.
Il faut toutefois excepter le cas où la valeur de m' serait telle que l’équation précédente déterminerait pour m une valeur égale à celle de ni \ car alors le diamètre serait parallèle à ses cordes conjuguées, ce qui serait absurde. Cette valeur exceptionnelle de ni sera donnée par l’équation
~ d’où A//if, + lW+C=0.
1 00. Si B* — 4AC=0, auquel cas la courbe n’a pas de centre 182) et est une parabole, comme nous le verrons bientôt (200), on trouvera , en introduisant cette condition dans
l’jex pression — du coefficient angulaire du diamètre,
que ce coefficient se réduit à la quantité constante — — .
Donc tous tes diamètres de la parabole sont parallèles.
191. si r on veut déterminer les axes des courbes du second ordre (184), il faudra exprimer que le coefficient angulaire du diamètre et celui de ses cordes conjuguées sont réciproques et de signes contraires [nous supposerons dans ce numéro et dans le suivant que les axes des coordonnées soient rectangulaires') ; donc
d’où Bm’ 2(A C)m R=0 [6],
équation dont les racines sont réelles, réciproques et de signes contraires; donc elle fait connaître à la fois et la direction des cordes et celle du diamètre qui les coupe perpendiculairement par leurs milieux; et comme il n’y a pas de raison pour prendre l’une de ces racines pour le coefficient angulaire de ces cordes plutôt que pour celui de ce diamètre, on en conclut que les courbes du second ordre ont deux axes qui se coupent, il angles droits. Ces axes divisent chacun la courbe en deux
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parties symétriques, et on les nomme, en conséquence , les axis de symétrie ou les axes PRINCIPAUX de cette courbe.
192. Toutefois l’un de ces axes cesserait d’exister si l’une des valeurs de m tirée de l’équation [0] rendait infinie l’ordonnée à l’origine du diamètre correspondant ; or , cette
ordonnée a pour expression
D/n-f-E 2 A ni B
: donc il faut
que
l’on n’ait pas 2A/7î-J-B = 0, ou m — — — . Mais, dans le
cas où B* — 4AC = 0, les racines de l'cquation [6] sont B 2A
— ç— et — ; donc la parabole n’a qu’un axe dont les cordes
conjuguées ont pour coefficient angulaire — . La formule
Dm -f- E . , . BE + 2AD , “
— 2 \ffl-f-B se m*ult a,ors a , de sorte que 1 équa-
tion de l’axe de la parabole est
