j-tang’a
d’où cos a — dt
y^l -j-tang’a
mais l’équation [8] donne sina=tanga cos a :
, . . tanga
donc — ” - ^ - —
sma=
\/l -f-tang’a
Dans ces deux formules les signes se correspondent , c'està-dire qu’il faut prendre dans toutes deux les signes supérieurs ou les signes inférieurs en même temps, et le problème admet deux solutions , si l’arc a n’est pas donné. En effet, ces formules exprimant le sinus et le cosinus de l’arc a en fonction de la quantité tanga, doivent nous donner le sinus et le cosinus de chacun des arcs dont la tangente est égale à cette grandeur; mais tous les arcs qui ont la même tangente que l’arc a sont compris (23) dans la formule
donc nos formules déterminent (13 et 17)
sin(XTî-j-a)=i:sina, et cos(An-|-n^=rfccosa; donc elles devaient nous donner chacune deux valeurs égales et de signes contraires.
Mais si l’arc a est donné, il n’y a plus qu’une seule solution; et, en examinant à quel quadran il appartient, on saura lequel des deux signes il faut prendre devant les valeurs de sin a et de cos a.
Exemple. Soit tanga = p; on aura
cos n—± L. , sin a=rp ^ ,
de sorte que les deux solutions du problème sont
^eosa=y, sina= — et ^cosa= — — ,sina=-|-0.
Si l’on ajoute que l’arc a est de 1 50°, son sinus sera positif, et son cosinus sera négatif, et on aura en conséquence
cos 150°= — y-, sin 1 50°= 5.
29. Cherchons actuellement à calculer les sinus et cosinus de la somme de deixc arcs en Jonction des sinus et des cosinus de ces arcs.
Éig. 4. 1re Démonstration. Soient CA = a et CB=4 deux arcs dont la somme BCA = a est moindre qu’un quadran.
J’abaisse du point C les perpendiculaires CPA' et CQB'sur les rayons OA et OB : CP et OP seront le sinus et le cosinus de a, CQ et OQ seront le sinus et le cosinus de l’arc b\ de plus, les arcs CAf et CB' étant les doubles de CA et de CB , l’arc A'CB' sera le double de ACB, de sorte que le sinus de ce dernier sera la moitié de la corde A'B'(6) ; or, si l’on joint les points A' et B' avec l’extrémité D du diamètre CD, on formera un quadrilatère CA'DB', dans lequel on aura , en vertu du théorème de Ptolémée ( dans tout quadrilatère inscriptible le produit des diagonales est égal a la somme des produits des côtes opposés),
