B BE+2AD

2A X B’-j-AA’ ’

195. Soit y=m'x-\-n' l’équation du diamètre dont les cordes conjuguées sont comprises dans l’équation y=mx-\-n, on aura entre m et m' la relation

Bm-f 2C 2Aot + B

ou , ce qui revient au même ,

2Ammf -j- B(/w -j- »/) -J- 2C=0 [7].

Si donc on tire un système de cordes parallèles à ce premier diamètre, et que y— rri'x -j- ti' soit l’équation du diamètre qui les divisera en deux parties égales, on aura la condition

2Am'm" -f B (m' -f m") -f 2C = 0.

Or, si l’on compare cette équation à la précédente , on en conclura que nr=m *, et qu’ainsi notre second diamètre est

* En effet , si l’on retranche membre à membre les deux équations précédentes, il viendra

(, m — m") lîkm' — |— B) = 0 ,

d’où l’on voit que , si m n’est pas égal à m ", il faudra que l’on ail $ 2A/w'-f-B = 0;

mais l’équation [7] revenant à

(2Aa/+ B)m -f- B/n'-f- 2C = 0 ,

parallèle aux cordes du premier. Donc les diamètres représentés par les équations

y = m'x -j- n' et y— m" x -f- n",

sont tels que chacun divise en deux, parties égales les cordes parallèles à l'autre. On dit en conséquence que ce sont deux DIAMÈTRES CONJUGUÉS.

Par conséquent l’équation [7] est tout à la fois la relation qui existe entre les coefficients angulaires de deux diamètres conjugués et entre les coefficients angulaires d’un diamètre et de ses cordes conjuguées.

Cette dernière conséquence prouve que deux diamètres sont conjugués lorsque leurs coefficients angulaires m et ni satisfont à la relation [7] ; car ni et m sont alors les coefficients angulaires respectifs des cordes conjuguées du premier et du second ; donc chacun d’eux est parallèle aux cordes conjuguées de l’autre; donc ils sont conjugués.

194. Quanta la parabole, il est évident qu 'elle ne peut pas avoir de diamètres conjugués, puisque tous ses diamètres sont parallèles entre eux (190).

195 . Si l’on veut déterminer les diamètres rectilignes de la courbe représentée par t équation q(x , y) — 0, il n’y aura qu’à chercher les valeurs de m , qui feront acquérir des facteurs rationnels et du premier degré au premier membre de l’équation générale ^(.r,^') = 0 de ses lignes diamétrales. Pour cela, on ordonnera le polynôme ty(y,y') relativement aux puissances décroissantes de celle des deux variables qui y a le plus faible exposant, par rapport à y, par exemple; puis on divisera ce polynôme par y-\-px-^-q, et on écrira que le reste indépendant de / est nul, quel que soit £, et, en substituant les valeurs tirées des équations ainsi obtenues , au lieu de p et de q dans yJç-px-\-q=^0, on aura les équations de tous les diamètres rectilignes de la courbe <p(x,y)= 0.

196. La méthode précédente entraînera dans des calculs très-longs, lorque l’équation proposée sera d’un degré un

si l’on avait 2A/w'-|-B=0, il en résulterait Bm'~f-2C=0, et par conséquent B* — 4AC=0; or, puisque tous les diamètres de la parabole sont parallèles, il est impossible qu’il y ait des cordes qui stfient parallèles à l’un de ces diamètres (190), et ainsi B’ — 4AC^0.

DES DIAMÈTRES

peu élevé; aussi vaudra-t-il mieux avoir recours à un autre procédé, fondé sur la transformation des coordonnées , pour résoudre ce problème général :

Trouver les diamètres rectilignes de la courbe représentée par V équation algébrique entière-et rationnelle <p(x, y)=0, les coordonnées étant rectangulaires.

Soient AB un de ces diamètres, Of le point où il coupe l’axe Fig. es. des^r, et CD une des cordes qu’il divise en deux parties égales. Menons par le point (T une parallèle à CD, et prenons cette parallèle et AB pour axes des^ et des té. Si , dans l’équation de la courbe proposée rapportée à ces nouveaux axes, on donne une valeur quelconque à a/, on en tirera deux valeurs de yJ égales et de signes contraires , de sorte que cette équation ne pourra renfermer que des puissances paires dejJ; réciproquement, si cette condition est satisfaite, l’axe des té divisera en deux parties égales toutes les cordes parallèles à l’axe des té, et sera, par conséquent, un diamètre. Supposons donc que l’on désigne par b la distance OCy, par a et par al les angles que les droites AB et CD fout avec la partie positive de l’axe des x-, on rapportera la courbe proposée aux nouveaux axes CfX' et C/Y' en remplaçant x et y dans q(x,y)= 0 , par leurs valeurs données par les formules

x =té cosx-j-y' cosa', y=b~yté sina-J-^7 sina'.

L’équation transformée étant une certaine fonction des quantités té, y, a, al et b , on profitera de l’indétermination des trois dernières, pour faire évanouir tous les termes où^ entrera à des puissances de degré impair, en égalant leurs coefficients à zéro. Si l’on trouve ainsi moins de trois équations de condition, on en conclura que le problème est indéterminé, et que la courbe proposée a une infinité de diamètres rectilignes; s’il y a trois équations de condition, il y aura, en général, de pareils diamètres : mais il n’y en aura point si le nombre de ces équations surpasse trois, à moins que quelques-unes d’entre elles ne rentrent dans les autres. Il suit de là que la probabilité qu’une courbe a des diamètres rectilignes est d’autant moins grande qu’elle est d’un ordre plus élevé. Il en est de même potir le ceittre (180).

Si l’on demandait les axes d’une courbe, il faudrait faire dans les calculs précédents al — a = 90°, de sorte (jue les

équations de condition ne renfermeraient plus que deux indéterminées.

Exemple. Soit o(x,y) = xy'-^-yx'—r a’= 0 l’équation proposée. On trouvera pour équations de condition

2 si n a cos a (si n al- 1- cos al ) - j- si n’a cos a^-j- sina’cos’a = 0 [ 1 ] , sin a! cos a'(sin a'-}- cosaf) — 0 b [si n a! cos a -)- si n a cos a'-}- cos a cos a'] = 0

4cosa'=0 [4].

On satisfera d’abord aux deux dernières de ces équations en posant 4 = 0; on tirera ensuite des équations [1] et [2]

sin a'=0 2 sin a cosa-j-sin’a = 0....tanga= — 2,

cosar=0....2sinacosa-}-cos,a = 0....tanga = — i. sin a'-|-cosa'=0 tanga'= — 1 ....tanga=-j-1.

On vérifie encore l’équation [4] , si b ^ 0 , en posant

cosa,=0), mais alors l’équation [3] exige que cosa soit nul aussi, ce qui ne se peut.

Il y a donc trois diamètres rectilignes, qui ont pour équations

jr—— 2x, y— — j, y—x,

et celles de leurs cordes conjuguées sont de la forme y=k, x=k, y-—x- \-k.

Le troisième diamètre est donc un axe (123).

GÊOMÉTHIE ANALYTIQUE,