CHAPITRE IX

DISCUSSION DB L'ÉQUATION GÉNÉRALE. DIT DEUXIÈME DEGRÉ A DEUX INDÉTERMINÉES.

§ I. Division des lignes du second ordre en trois genres.

1 97. L’objet que nous allons nous proposer actuellement est de chercher quelle est la forme des courbes représentées par l’équation générale du second degré

Ay-j-B-zy-f-CV+Dj-f Er-}-F = 0 [1]

et de découvrir les propriétés les plus générales de chacune de ces courbes.

En conséquence, nous allons d’abord appliquer à cette équation la méthode de discussion que nous avons ébauchée précédemment (SI). Résolvons-la clone par rapport à l’une des deux variables , par rapport à y, par exemple , ce qui donnera

^?f±£± ivV(B'— 4AC>rî+2(BD-2AE>r+D3-4AF, ou y— — ±~ Jnx'+îpx+q [2],

en posant, pour abréger, comme nous l’avons déjà fait dans la note du n° 1 7 i ,

B* — 4AC = «, BD — 2AE=/;, D‘ — hkF — q.

Or, si l’on compare cette équation à

Bx+D

on voit que, si l’on avait construit la droite RS représentée Fig. 69. par cette équation , on obtiendrait tous les points du lieu cherché , en augmentant et en diminuant l’ordonnée de chacun des points de cette droite de la valeur que prend la quantité

— v'n.r1-(-2/o.r-(-y, lorsque l’on y remplace x par l’abscisse 2 A

du point que l’on considère; car on trouvera de cette manière deux points qui auront respectivement pour ordonnées

et

— +iîv Vy«^+2^+ÿ

— 21 \lna?+2px+q.

c’est-à-dire les deux valeurs dey déterminées par la formule [2].

On voit ainsi que le lieu de l’équation y= — est le

diamètre qui coupe en deux parties égales toutes les cordes de la courbe qui sont parallèles à l’axe des y, et que la quan-

tité ^ \jn3d-\-1px-\-q dont il faut augmenter et diminuer

l’ordonnée de chaque point de ce diamètre est la valeur absolue de l’ordonnée de la courbe , comptée à partir du diamètre. Nous représenterons désormais cette quantité par jr,, et nous poserons en conséquence

fi =± il srud+ïpx+q [4].

Cela posé, si l’on écrit cette valeur de y\ de la manière suivante :

on verra que la quantité tendant vers zéro à mesure

que x augmente, on pourra assigner à x une valeur assez

grande pour que la valeur absolue du binôme soit

moindre que celle de n , de sorte qu’il existe des valeurs positives et négatives de x, à partir desquelles la quantité soumise au radical prendra des valeurs qui auront constamment le même signe que n, et qui croîtront au delà de toute limite, lorsque l’on fera augmenter x; car le facteur x* tend vers

l’infini , tandis que converge vers n.

Donc, si rt=B* — 4AC <0, il y a des valeurs de x au delà desquelles y, sera toujours imaginaire, soit que l’on prenne .r positivement ou qu’on la prenne négativement. La courbe sera donc limitée dans le sens des abscisses, tant positives que