DIVISION DES LIGNES DU SECOND ORDRE

négatives : elle le sera pareillement de part et d’autre de son diamètre, puisque jry ne saurait devenir infinie tant que x ne reçoit que des valeurs finies.

Lorsque «=B’ — 4AC sera positif, il y aura des valeurs positives et négatives de x, à partir desquelles^, sera toujours réelle et croîtra au delà de toute grandeur donnée. Donc alors la courbe représentée par l’équation [1] s’étend indéfiniment à droite et à gauche de l’axe des ordonnées , au-dessus et au-dessous de son diamètre.

Enfin, si n= B1 — 4AC=0, la quantité soumise au radical dans l’expression de yy se réduisant à (2/>.t-|-o), on voit que si p est positif, jry sera toujours réelle pour des valeurs positives de x suffisamment grandes, et croîtra indéfiniment avecx. Mais, si on prend x négativement,^, finira par devenir imaginaire. Ce sera le contraire lorsque p sera négatif. Ainsi, dans ces deux cas, la courbe sera illimitée du côté des abscisses positives ou négatives, et limitée dans le sens opposé; mais elle s’étendra indéfiniment de part et d’autre de son diamètre. *

198. Les raisonnements qui précèdent sont fondés sur l’hypothèse que A n’est pas égal à zéro : mais A serait nul, que l’on n’aurait cependant pas d’autres genres de courbe. En effet, on aurait pu résoudre l’équation [1] par rapport à x, au lieu de la résoudre par rapport à^; et comme cela serait revenu à permuter dans la formule [2] x et^-, A et C, D et E, on voit que, la quantité B* — 4AC = n ne changeant pas par ces permutations , on aurait appliqué ainsi aux axes des x et des jr ce que l’on a dit par rapport aux axes des j r et des x. Par conséquent, faire A— 0 revient à supposer C=0, dans l’analyse du n° 197, mais à appliquer à l’axe des ordonnées ce que nous y avons dit de l’axe des abscisses , et vice versa. Or, l’hypothèse de C=0 n’introduit aucun changement dans ce que nous avons reconnu, sinon que n est alors essentiellement positif, si B n’est pas nul; donc la courbe s’étend indéfiniment dans tous les sens, ou est illimitée dans un sens et limitée dans le sens contraire, selon que B est différent de zéro ou égal à zéro, c’est-à-dire selon que B’ — 4AC est plus grand que zéro ou égal à zéro.

199. Si l’on avait à la fois A=0 et C=0, l’analyse du n° 197 ne serait plus applicable; car l’équation [1] perd

ses termes en oé et en y* et se réduit au premier degré par rapport à x et à y.

Mais alors, quelque valeur que l’on assigne à l’une des variables, on obtient toujours des valeurs réelles pour l’autre; donc la courbe s’étend indéfiniment de part et d’autre de chacun des deux axes, et c’est précisément la propriété dont jouissent les courbes dont le caractère analytique est n ou B* — 4AC>0, caractère auquel satisfait la double hypothèse A = 0 et C=0 (B n’est pas nul alors, sans quoi l’équation [1] se réduirait au premier degré).

200. Il résulte de ce qui précède que les courbes du second ordre se partagent en trois genres distingués par l’étendue et la direction de leurs branches, savoir :

Courbes limitas dans tous les sens, et dont un des caractères * est B* — 4AC < 0 ; on les appelle ellipses ;

Courbes indéfinies dans tous les sens, et dont un des caractères est B* — 4 AC> 0 ; on les nomme hyperboles ;

Courbes indéfinies dans un sens et limitées dans le sens opposé , et dont un des caractères est B*— <4AC=0. On leur a donné le nom de paraboles.

Nous allons maintenant discuter l’équation générale dans chacun des trois cas que nous venons d’établir, afin de reconnaître exactement la forme des trois genres de courbes qu elle représente.

§ U. Construction des ellipses. B> — 4AC<0.

Fig. 69. 201. En résolvant l’équation [I], nous avons trouvé

et nous avons vu (197) que l’équation

J ik

représente une droite qui divise en deux parties égales toutes les cordes parallèles à l’axe des y, et que h équation

7* — ± ax [4]>

* iVous disons : un (les caractères, parce que l’équation [1 J peut trèsbien ne pas représenter une courbe.

détermine les ordonnées des différents points de la courbe comptées à partir de ce diamètre. On commencera donc , dans tous les cas, par construire ce diamètre, et il ne s’agira plus que de suivre la marche des valeurs de lorsque x croîtra d’une manière continue depuis 0 jusqu’à -|-oo et depuis 0 jusqu’à — ce , pour savoir comment la courbe s’étend de part et d’autre de son diamètre.

Soit donc RS le lieu de l’équation [3]; afin de déterminer immédiatement les limites de notre courbe dans le sens de l’axe des abscisses , nous commencerons par chercher les points où elle coupe le diamètre RS, et, pour cela, nous poserons l'équation

nx?-\-2px-\~q=-Q [5]}

car il est évident qu’en ces points l’ordonnée^-, doit être nulle. Ici trois cas peuvent se présenter, suivant que les racines de cette équation seront réelles et inégales, réelles et égales, ou imaginaires.

1" Cas. Supposons que les racines de l’équation [5] soient réelles et inégales, et désignons-les par x et par x". Nous prendrons sur l’axe des abscisses des distances OA=a/ et OB=x*, nous mènerons par les points A et B des parallèles à l’axe des j, et les points C et D où elles couperont le diamètre RS seront ceux même où cette droite est rencontrée par la courbe.

C.ela(fait, nous décomposerons le trinôme ru?-^-‘lpx-\-q en facteurs , ce qui donnera

n(x — xf) (x — A')— — n(x — x1) (V' — .r), et partant

yi=±~ v/— n(x—, x'Xx"— . x),

en supposant, pour fixer les idées, que la valeur relative de d soit moindre que celle de s? (Algèbre, 26)*. On voit ainsi que^-, sera réelle tant que l’on donnera à j des valeurs comprises entre A etxJ/, puisque les facteurs (.r — . r ') et (x" — x) sont alors positifs ainsi que — n. Donc la courbe

* Si , par exemple , la quantité soumise au radical était — 4^-f-8x— 1 , on la mettra sous la forme

- *[* - 0 + iv'3)] [* - (1-^3)] = 4[x - (1 - iV'3)J [(I + ly'âj-x].

sera continue depuis le point C jusqu’au point D, tant audessus qu au-dessous de son diamètre. Mais, comme la somme des deux facteurs {x — xJ) et {x" — x) est la quantité constante xJI — x! , ce produit est susceptible d’un maximum qu’il atteindra quand on aura {Algèbre , 241)

x—x?=x!'—x, d’où Æ=î-±£,

et ce maximum sera

de sorte que pour Tk

On prendra donc le milieu E de AB; car l’abscisse du milieu d une droite est la demi-somme des abscisses de ses extrémités; on tirera par le point E la parallèle EF à l’axe des^-, et en prenant sur cette droite les deux distances FG et

F H égales à — ^ — y' — n, on aura les deux points G et H

de 1 ellipse, qui sont les plus éloignés du diamètre RS.

Le point-F milieu de CD est le centre de l’ellipse (189. 3° et 177), et la droite FGH menée par ce centre parallèlement aux cordes que CD divise en deux parties égales est le conjugue' de ce diamètre (195).

Maintenant, si l’on donne à x des valeurs moindres que xJ, ou plus grandes que xi1 (on a toujours égard aux signes), l’un des facteurs (.r — x!) et {a? — -x) sera négatif, tandis que l’autre sera positif; de sorte que la quantité — n{x — ■x/'){xJ/ — x) résultant alors de la multiplication du produit de deux facteurs positifs par un facteur négatif sera négative; donc sera imaginaire ; donc l’ellipse est limitée dans le sens de l’axe des abscisses par les droites AC et BD.

Il ne s’agit donc plus , pour avoir une idée exacte de sa forme, que d’examiner si elle est sinueuse, ou bien si elle est concave ou convexe vers son diamètre.

L’ellipse étant une courbe du second ordre ne peut pas être coupée par une ligne droite en plus de deux points ; donc elle n’est ni sinueuse , ni partout convexe vers son diamètre; donc elle lui présente constamment sa concavité ; d’ailleurs les droites AC et BD sont des tangentes, ainsi que les parallèles menées par les points G et H au diamètre RS ( 1 89, 2°). L’ellipse a ainsi la forme représentée dans la figure 69, et se

trouve inscrite dans un parallélogramme dont chaque côté est divisé en deux parties égales par le point de contact.

202. 2' Cas. Si les racines xJ et £' de l’équation [5] sont égales, son premier membre revient à n(.c — de sorte que la formule [2] se réduit à

Bx-fD

et comme n est supposé négatif, on voit que^- ne sera réelle que si l’on faitar=y, de sorte que l’équation [1] ne peut être

vérifiée que par le seul couple x—d, j y= — et {lue

par conséquent le lieu de cette équation est le point dont ce sont là les coordonnées.

203. 3’ Cas. Supposons que les racines de l’équation [5] soient imaginaires, le premier membre de cette équation restera négatif, quelque valeur que l’on attribue à x, et par conséquent la formule [2] donnera constamment des valeurs imaginaires pour^\ Donc l’équation [1] ne pourra être vérifiée par aucun couple de valeurs de x et de^-, et ainsi elle ne représente rien.

204. Il résulte de cette discussion que, dans l’hypothèse où/t=B* — '4AC<0, l’équation [1] ne représentera une ellipse cjue si les racines de l équation [5 i sont réelles et inégales, ce qui exige que l’on ait p1 — nq^>0. En développant cette condition, on trouvera que