LES CARACTÈRES DE L’ELLIPSE SONT

B! — 4 AC < 0, et A E1 — BDE -|- CD’-J-F(B* — 4 AC) > 0 \

Comme le second et le troisième cas correspondent à 1 ' hypothèse B* — 4AC<0, qui est un des caractères de l’ellipse, on a coutume de dire que le point et la courre imaginaire sont des variktés de V ellipse.

* On peut former très-simplement le premier membre de celte inégalité d'après la règle suivante : remplacez rla/ts le premier membre de l’équation [i ] x et y respectivement par ± D et par q:F, rt F par F (B* — 4 AC).

GÉOMÉTRIE ANAtYTIQDE.

§ III. Construction des hyperboles IP — 4AC>0.

205. En raisonnant comme au n° 1 97 , on sera conduit à construire d’abord le diamètre que représente l’équation [3], puis à chercher les abscisses des points où il rencontre la courbe, en résolvant l’équation

• nx'-\-‘lpx-\-(]=Q [5],

ce qui donnera lieu à distinguer aussi trois cas, suivant que les racines de cette équation seront réelles et inégales, réelles et égales, ou imaginaires.

1*r Cas. Soient toujours .d et xJI les deux racines réelles Fig. 70. Je l’équation [5], et C et D les points du diamètre RS cor- H respondant à ces abscisses. Ce sont donc les points où ce diamètre rencontre la courbe (201).

Cela fait, nous décomposerons le trinôme /w*-j-2/Ar-{-y en facteurs, et nous trouverons ainsi

a yi — ±~\Jn{x— x') Jx —x ").

Or, on voit par cette formule que y, sera imaginaire pour toute valeur de x comprise entre £ et £' ; que cette ordonnée sera nulle pour x—x et pour x = x?, majs que si l’on fait croître x depuis £' jusqu’à ce et décroître x depuis xJ jusqu’à — oo (on suppose x? <[ xJr), y, croîtra depuis zéro jusqu’à l’infini ; d’où il suit que la courbe n’a aucun point situé entre les deux parallèles AC et BD; que de chacun des points C et D partent deux branches qui s’étendent au-dessus et au-dessous du diamètre RS , en s’éloignant indéfiniment de ce diamètre et de ces deux parallèles; d’ailleurs elles présentent leur concavité à RS, comme on l'a vu pour l’ellipse (201), et touchent AC et BD aux points C et D (1 89, 2°). La courbe a donc la forme représentée dans la figure 70.

Remarquons que le point F milieu de CD est le centre de l’hyperbole (189, 3°), et que la parallèle EF , menée par ce point à l’axe des y est la direction du diamètre conjugue de CD* (195).

* On peut conclure de là et du n° 201, que l'ellipse et l'hyperbole ont une infinité de systèmes de diamètres conjugués : car, si l’on change

Enfin, pour mieux déterminer la direction des branches de la courbe, on construira ses asymptotes. On pourrait, pour cela, faire usage des formules du n° 171 , mais il sera plus simple de les déduire de l’équation [4] qui représente la courbe tout aussi bien que [1]. En élevant les deux membres de cette équation au carré et en transposant, on trouvera

4A’jk,’ — nx* — Ipx — q— 0M

qui revient à

x * ^4 A* ~ — nj — 2 px — q= 0.

On aura donc

F(c)=4AV — n= 0, d’où c=zh~,

F»(c)=— 'ip,

et partant /i=±|ï (*+£)’

pour les équations des asymptotes *. Mais il ne faudra pas oublier que les ordonnées doivent être comptées à partir du diamètre RS. Cette formule montre que les asymptotes se croisent au centre de l'hyperbole ; car elles coupent le dia-

mètre RS au point dont l’abscisse est — -=- — ^ — » c’està-dire au point F. On prendra donc sur l’axe des /, à partir de N, deux distances NP et NQ égales à , et en tirant

PF et QF, on aura les asymptotes.