Cas. Si xl = x", la formule [2] se réduit à
Bx-fD
ÏK
Cette équation représente deux lignes droites
mil rrAicpnt
d’axes des coordonnées, l’équation [1] conservera la meme forme, et on pourra répéter sur la transformée tous les raisonnements que l’on a faits sur la proposée.
* Il est facile de retenir cette formule; car le second membre est le . résultat du calcul indiqué dans le second membre de l’équation [4], en se bornant aux deux premiers termes.
sur le diamètre US , au point dont l’âbscissc est x=j/— — -, et coupent l’axe des y en deux points distants de N de la et, en effet, si on suppose que les
quantité
coefficients de l’équation [1 J prennent des valeurs telles que la différence (x" — x') des abscisses des points C et D devienne de plus en plus petite, il est clair que cette courbe tendra à se confondre avec ses asymptotes, et que cela aura
ljeu à la limite, c’est-à-dire lorsque q sera égal à . On dit
en conséquence que l'hyperbole a pour variété le système de deux droites concourantes.
207. 3' Cas. Si les racines de l’équation n j px-^-q—0 . sont imaginaires, la courbe ne rencontre pas son diamètre RS. Le trinôme tué -)- 2px q étant alors la somme de deux quantités positives , nous mettrons ces quantités en évidence ,
ce qui se fera en complétant le carré dont xé et -|-2 - r sont
les deux premiers termes ( Algèbre , 206), et l’équation [43 prendra la forme
* f'=±èï\/n[(;l'+y +("’)}
On voit de cette manière que la valeur de j\ sera minimum quand on aura .i -j-^ = 0, d’où x = — et partant
y — on prendra donc une abscisse OE= —
on tirera par le point E une parallèle indéfinie à l’axe des y,
et prenant FG=FH = ^ y/ q — on aura les deux points
G et II qui sont les plus près du diamètre RS; donc la courbe n a aucun point situé entre les parallèles menées à RS par ces
deux points; croissant depuis — ~ jusqu'à -|-30 , et décroissant depuis — ^ jusqu’à — oc , la valeur absolue de^‘, aug-
mentera depuis — y/ q — '-jusqu’à l’infini; ainsi de chacun
des points G et H partent deux branches qui s’éloignent indéfiniment du diamètre RS et de la droite GII. Elles présen-
CONSTRUCTION DES HYPERROLF.S. 277
tent d’ailleurs leur convexité à RS, puisqu’une ligne droite ne peut couper la courbe en plus de deux points. Les parallèles menées par G et par II au diamètre RS sont donc des tangentes en ces points.
Si, pour obtenir l’équation du diamètre conjugué île RS, on fait m = — ~ dans l’équation [5] du n" 488, on trouvera
2AE— BD p
de sorte que la direction de ce diamètre est celle même de la corde minimum GH. Le point F est donc le centre de l’hyperbole. Enfin on pourra construire les asymptotes, ainsi que nous l’avons fait au n°20£>.
208. On voit donc qu’il ne suffit pas que H* — 'iAC soit positif pour que l’équation [1 1 représente une hyperbole, il faut encore que les racines de l’équation [5j ne soient pas
égales, c’est-à-dire que (// — nrf) ne soit pas nul ; donc
LES CARACTÈRES DE l.’ïIYPF.RBOLF. SONT
B* — 4AC>0 et AE’— BDE-j-CD’-f F(B*— 4AC)>0. *
209. Le cas où le coefficient du carré de l’une des variables est nul ne saurait donner lieu à aucune difficulté, d’après ce que nous avons dit plus haut (198) : toutefois nous allons examiner l'hypothèse de A = 0 , parce qu’on peut discuter l’équation
R xj-\- C.r’-f D r H- E* + F = 0,
en la résolvant à la manière de celles du premier degré.
On en tire .
ou
C^-fEr+F
y Bx-fD
en effectuant la division du numérateur par le dénominateur et en posant, pour abréger,
