CHAPITRE X

RÉDUCTION DE L'ÉQUATION GÉNÉRALE DES COURBES DU SECOND ORDRE A LA FORME LA PLUS SIMPLE POSSIBLE.

248. La discussion à laquelle nous venons de nous livrer ne nous a fait connaître que la forme générale des trois courbes du second ordre, de sorte qu’il faut encore étudier spécialement les propriétés dont jouit chacune d’elles. Mais on conçoit que cette étude sera d’autant plus facile que l’équation de la courbe que nous aurons à considérer sera plus simple. Nous allons donc tâcher de faire évanouir de l’équation générale du second degré les termes qui ne tiennent pas essentiellement à la nature de la courbe qu elle représente.

D’abord, s’il s’agit d’une ellipse ou d’une hyperbole, on pourra la rapporter à un système de diamètres conjugués, et comme chacun d’eux divise en deux parties égales toutes les cordes parallèles à f autre, il faudra que l’équation de la courbe ne renferme aucun terme où l’une des variables x et y entrerait au premier degré, puisqu’à une même valeur de l’une d elles devront correspondre deux valeurs de l autre égales et de signes contraires. Ainsi , l’équation de cette ellipse ou de cette hyperbole ne renfermera / >/us que les carrés des variables et un terme constant, c’est-à-dire qu elle sera de la forme

Ay-f-GV-fF=0.

Réciproquement, s’il en est ainsi, la courbe sera rapportée à un système de diamètres conjugués ; car, pour chaque valeur donnée à x ou à y, on trouvera pour l’autre variable deux valeurs égales et de signes contraires, de sorte que chacun des axes des coordonnées partagera en deux parties égales toutes les cordes parallèles à l’autre.

S’il s agit d’une parabole, et qu’on prenne pour axe des abscisses son diamètre, et pour axe des ordonnées la parallèle menée à ses cordes conjuguées par le point oii il rencontre cette courbe, l équation qui représentera la parabole ne devra

plus contenir aucun des termes où^ entre à la première puissance; ni le carré de x , puisque les termes du second degré doivent former un carré parfait; ni le terme indépendant, puisque l’origine étant sur la courbe, l’équation doit être vérifiée par j:=0 et^-=0; cette équation sera donc de la forme

= 0 , ou ,/* = 2 px.

Nous allons donc tâcher de ramener l’équation

A/*-j-Bx/-j-Cr»-fD7+Ex--fF=0 [1]

à la forme

A>,+C'.r,+F=0, si B*— 4AC>0, ou à la forme

Ay-j-E'.r=0, si B’— «4AC=0.

219. Puisque l’équation d’une ellipse ou d’une hyperbole rapportée à deux diamètres conjugués ne doit renfermer que les carrés des variables et un terme constant, on voit que l’origine est le centre; car tous les termes de l’équation sont de même parité. Si donc nous transportons l’origine des coordonnées au centre de la courbe, nous ferons disparaître de son équation les premières puissances de x et de^\ Soient a et b l’abscisse et l’ordonnée de ce point, l’équation [1] deviendra (182)

Cx3-

- Bfl

-2Ca

A 4* B ab Q/* 4-m 4-Ea F

et pour exprimer que le point (fl, b ) est le centre de la courbe, on égalera à zéro les coefficients des premières puissances de x et de^-, ce qui donnera les deux équations de condition

2A4-J- Bfl — f-D=0 î pq-1

B4-|-2Crt-j-E = 0 J LdJ>

desquelles on tirera