B>— 4AC’ ' B* — 4 AC

BÉDCCTÏON DE L’ÉQÜATION DD SECOND DEGRÉ. 287

En substituant ces valeurs dans la transformée , elle se réduira à

Aj’-j- B*/-{- Gr'-f F'=0 [4].

Cette quantité F se calcule assez simplement de la manière suivante : du double du terme indépendant des variables dans l’équation [2] retranchez la somme des produits des premiers membres «les équations [3] multipliés respectivement par b et par a , et vous aurez

D4-f Ea-f-2F,

d’où, en remplaçant a et b par leurs valeurs, p, AE*— BDE + CD* + F(B* — 4 AC)

J b*— Tac

Il s’agit maintenant de faire évanouir de l’équation [4] le rectangle des variables. Nous supposerons, pour plus de simplicité, que les axes auxquels la courbe est rapportée sont rectangulaires, et cette hypothèse n’altérera en rien la généralité des résultats; car, s’il n’en était pas ainsi, on pourrait substituer dans l’équation [4] les valeurs de x et de^" données par les formules qui servent à passer d’un système de coordonnées obliques à un système de coordonnées rectangulaires (1 00), et il est évident , d’après la composition de ces formules, que la nouvelle équation aurait encore la même forme que l’équation [4].

Comme les diamètres conjugués dont nous avons reconnu l’ existence étaient obliques (195 et note de 2015), nous emploierons les formules

x — £ cosa cosaf,

x— £ sin a -\~y sina',

qui servent à passer d’un système de coordonnées rectangulaires à un système de coordonnées obliques, en conservant l’origine. La substitution de ces valeurs de x et de j' dans l’équation [4] donnera

A si n’a'

-A sin’a

j/’-f-âA sina sin a'

T B sin a' cos a'

-B sina cosa

-j- Bsinacosa'

-j- C cosV

-Ccos’a

-f- B sin a1 cos a

2C cos a cos a'

•ry+F’=0

Ainsi, nous ferons évanouir le rectangle des variables, en cherchant pour a et pour a! des valeurs qui vérifient l’équation *

2Asinasino'-|-B(sinacosa'-|-suia'cosa)-t-2Ccosacosa'=0 [TJ,

formée en égalant son coefficient à zéro. Cette équation renfermant quatre lignes trigonométriques , nous diviserons tous ses termes par cos a cos a', et l’équation résultante

2A tanga tanga' -j-B(tanga-{-tanga')-j-2C = 0 [8]

n’en contiendra plus que deux, tanga et tanga'. Comme elle est du premier degré par rapport à chacune de ces deux inconnues, et qu’une tangente peut prendre toutes les valeurs comprises entre — x et -|-x , on voit que, quelque valeur réelle que l’on donne à l’un des angles indéterminés a et a', on tirera toujours de l’équation [8] une valeur réelle pour l’autre. Mais ces valeurs de a et de a' déterminent les directions des deux diamètres conjugués, puisqu’elles réduisent l équation [fi] à la forme

A>J-[-C,Æ,-fF=0;

donc on peut établir ce théorème remarquable :

L’ellipse et l'hyperbole ont une infinité de systèmes de diamètres conjugues, et toute droite menée par le centre de l’une de ces courbes, sauf les asymptotes de l'hyperbole, fait partie d’un pareil système , et est par conséquent un diamètre.

220. Les asymptotes de l’hyperbole font exception à ce théorème, puisque, d’après leur position à l’égard de la courbe, ni l une ni l’autre ne saluaient couper en deux parties égales un système de cordes parallèles. Cela d’ailleurs résulte de l’analyse précédente; car, si^’on assignait à l’une des quantités tanga et tanga' une valeur telle que l’équation [8] déterminât la même valeur pour l’autre, les valeurs correspondantes des angles a et a', étant égales ou différant de 180°, devraient être rejetées, puisque alors les directions des houveaux axes des coordonnées coïncideraient, ce qui ne se peut. Pour reconnaître cette valeur exceptionnelle, il n’y a qu’à faire tang a'=tanga dans [8], ce qui donnera

A tangIa-|-B tanga-[-C=0.

Ainsi l’on ne pourra pas prendre pour l’un des nouveaux axes la droite qui ferait avec l’ancien axe des x un angle dont la tangente serait une racine de cette équation, c’est-à-dire 1 une ou l’autre des asymptotes ; car l’équation ci-dessus est précisément celle qui détermine l'inclinaison des asymptotes sur l’axe des x (1 7 1 ), et nous avons vu (203) que les asymptotes de l'hyperbole se croisent à son centre.

Ce cas d’exception n’aura pas lieu pour l’ellipse, puisque les racines de l’équation Atang’a-|-B tanga-j-C=0, sont imaginaires lorsque B’ — 4AC<0.

221. Pour savoir si parmi le nombre infini de systèmes de diamètres conjugués qu’admettent l’ellipse et l’hyperbole, il y en a qui sont rectangulaires, je pose (123)

tang J— tânglx ’

et je substitue cette valeur de tanga' dans l’équation [8] qui devient ainsi

tang*a — 2 — tang a — 1=0 [9].

Cette équation a ses deux racines réelles, réciproques et de signes contraires, puisque son dernier terme est — 1 ; donc les droites qui font avec l’axe des x les angles dont les tangentes satisfont à cette équation sont perpendiculaires entre elles (123), de sorte que si l’une d’elles est prise pour le nouvel axe des abscisses, l’autre sera le nouvel axe des ordonnées. D’où il suit que

L’ellipse et l’hyperbole ont chacune un système de diamètres conjugues rectangulaires, et n’en ont qu’un seul , quoique l’équation [9] soit du second degré. Nous les avons nommés , ces diamètres , les axes de symétrie ou les axes principaux de la courbe (191 ) *.

Nous venons de dire que l’ellipse et l’hyperbole n’avaient

* Si A = C, l’équation [9] donne tanga = ±1, de sorte que les axes principaux de l’ellipse ou de l’hyperbole sont alors parallèles aux bissectrices des angles des axes des coordonnées.

Cette propriété est un cas particulier de ce Théoxèmf. : Si l’équation d'une courbe n'cst pas altérée, lorsque l’on y permute x et y, ou lorsqu’on y change x en-— y et y en — x, cette courbe a pour axe la bissectrice de

290 GÉOMÊTpIE ANAJ.YTIQUE.

qu’un seul système d’axes principaux : celte proposition est toujours vraie pour la deuxième de ces courbes , mais souffre une exception pour la première, équation [9] rpyient, eq effet , à .m

tHang’a — 2(4 — C) tanga — B=0 :

or, il est évident que, si l’on suppose B = 0 et A=C, cette équation sera satisfaite d’elle-même, et indépendamment de toute valeur particulière donnée à tanga; donc le lieu de l’équation [4] est alors une courbe qui a une infinité de diamètres conjugués rectangulaires; et cela doit être puisque cette équation se réduit à «

qui représente un cercle ; car A peut toujours être regardé comme positif, et, dans |e cas de l’ellipse, F est négatif (204 et 219).

Mais il y a plus , c’est que la circonférence ne peut avoir pour diamètres conjugués que des droites perpendiculaires entre elles. Si l’on se reporte, en effet, à l’équation [8], et qu’on y introduise la double hypothèse B=0, A=C, qui est nécessaire et suffisante pour que l'équation [4J représente une circonférence, elle se réduira à

t tanga tanga -j-1 ==0,

Condition d® perpendicularité des axes des^ et des jf.

l’angle des coordonnées positives ou la bissectrice du supplément de cet angle.

Supposons, en effet, que l’équation d’une courbe ne change pas lorsqu'on y permute x et y\ si * et 3 sont les coordonnées d’un de ses points, il y aura sur cette courbe un point M' dont les coordonnées seront p 83, et a . l’ordonnée MA du premier point et l’abscisse M'A1 du second formeront une losange OAQ A' dont la diagonale ÛQ divisera l’angle MQM' en deux parties égales , et sera par conséquent perpendiculaire sur le milieu de MM'. Donc la courbe est symétrique par rapport à la bissectrice de l’angle YOX.

Si l’équation de la courbe ne change pas lorsqu’on y remplace x et v respectivement par — ,r et par — x. , pu verra , en considérant la losange BOlV'Q' que les poinês l|(a, p) et — P, —a) sont symétriques par rapport à la bissectrice de l'angle yOx.

11 suit de ce théorème que le lieu de l'équation xy — in’ a pour axes principaux les bissectrices des angles des coordonnées .

Tout ceci dérive des propriétés les plus élémentaires de la circonférence.

222. Concluons de tout ce qui précède que l’équation générale du second degré pdurra toujours être ramenée à la forme

Ay-j-C^-fF^O [10],

lorsque (B* — 4AC) ne sera pas nul, et il résulte de la formule [5] qu elle représentera

une ellipse si B1- — 4AC><0 et F<Q;

une hyperbole si B’— 4AC]>0 et F^Oj

d'où il suit que dans le cas de l’ellipse A! et C doivent être de mêmes signes, pour que la condition B'1 — - 4A'C'< 0 puisse être remplie, et positifs, sans quoi le premier membre de ( équation [10] serait le somme de trois quantités négatives, et ainsi ne représenterait rien. Si l’équation [10] représente une hyperbole , A' et C' seront de signes contraires.

223. Nous allons chercher les distances du centre aux points où la courbe rencontre les diamètres conjugués ai|Xr quels elle est rapportée, et il suffira, poqr cela, de faire successivement j'==0 et x = 0 dans son équation. Nous trouverons

Ainsi, lorsque le (ieu de l’équation [ip] sera une ellipse , ces valeurs de x et de y seront réelles, comme cela doit être, d’après la forme connue de l’ellipse. Nous les représenterons par a et b , ce qui donnera

En substituant ces valeurs dans l’équation [1 0], puis en divisant par — F, il viendra

—• =0, GU dfÿ%r\*Üd* — 0*#==0.

Telle est l’équation de l’ellipse rapportée à un système quel-

conque de diamètres conjugués. 2 a et 2 b sont les longueurs de ces diamètres.

224. Si le lieu de l’équation [10] est une hyperbole, l’une des valeurs trouvées tout heure pour .r et poussera réelle et l’autre imaginaire, de sorte que f hyperbole rencontre toujours une des droites qui forment un système de diamètres conjugues, et ne rencontre pas i’autretjlQô, 207). Le premier de ces diamètres porte le nom de diamètre transverse} et le second de diamètre non transverse ou inuiginaire. Quoiqu’il ne rencontre pas la courbe, on prend cependant sur sa direction de part et d’autre du centre deux Fig. :o distances Fl et FK. égales au rapport de la valeur trouvée à V — 1, et le double de cette distance, c’est-à-dire IK., se nomme la longueur du diamètre non transverse.

Nous conviendrons de compter les abscisses sur le diamètre transverse. En conséquence , nous disposerons de «

de manière que y/ — ^ soit réelle, c’est-à-dire de manière

que G soit de signe contraire à F'*; alors A! sera de même signe que cette quantité; et, par conséquent, le rapport de

y/— ^ à y' — 1 sera la quantité réelle Nous repré-

senterons cette quantité par b et y/ — ^ ] donnera

et 71.

par a , ce qui nous

d’où

et, par conséquent, en substituant dans l’équation [10], puis divisant par F', ^

~ ^ — [— 1 =0 , ou a'y1 — l/xJt-\-ctlf=Q.

Tefle est l’équation de l’hyperbole rapportée à un système

* Lfj. valeur de C1 étant A sin* a -(- B sin a cos a -}~ C cos* a ou cos* a (Â tang’ a -j- B tang a -)- C) , il suffira de disposer de a de manière

que Atang’a-j-B tanga-j-C^0, suivant que F' serait).

quelconque de diamètres conjugués. 2 a représente la longueur du diamètre transverse, et 24"celle du diamètre non transverse.

22o. Il ne nous reste plus, pour avoir résolu complètement le problème, de trouver les équations de t ellipse et de t hyperbole rapportées à un système de diamètres conjugués, qu’à calculer les valeurs des coefficients A' et (J en fonction de ceux de l’équation [1]. Parmi plusieurs manières d’y parvenir, nous préférerons la suivante, qui nous a été indiquée par M. le professeur Chevillard.

Nous avons obtenu l’équation [10] en remplaçant, dans l’équation [4], x et y par leurs valeurs données par les formules

x=x' cos a cos a', J•=.r/sina-^/'sina,;

si donc on substitue dans l’équation [1 0] à é et à y' leurs valeurs

— x sin a -j-j-cos a sin (a' — a) ’

sin (a' — a)

tirées des formules ci-dessus, on devra retrouver identiquement l’équation [4]. Le résultat de cette substitution est

K i y* cos’ a — ixy sin a cos a-j-x’sin’a A sin’O'-^x]

I y* cos’ a' — Sxvsina'cosa'-j-x’sin’a' , A

, |in!(a'-a) ~ 1

d’où , en identifiant avec [4] ,

A' cos* a -f- C' cos’ a'

. XV A UJ -J-

A== sinV