AA'C
A4-C=^±-^ et B’— 4AC=— —,
1 sm’O sin1 6
en appelant 0 l’angle des deux diamètres conjugués.
Les deux inconnues A! et C dont nous connaissons actuelle-
mentlasomme(A-j-C)sin’6, et le produit — -(B* — 4AC)sin’Q
294 GÉOMÉTRIE ÀNALYTIQUB.
sont doue les racines de l’équation
Z»(A-|-C)sint6.g-TB,~4AC sin«6=0 [14];
de sortë qu’elles ne dépendent que des coefficients des termes du second degré dans l’équation [1], et de l’atlgle que doivent faire les diamètres conjugues.
Si donc l’angle 6 est donné, les coefficients A! fet C, et* pat1 fcüite, les valeurs des diamètres conjugués seront détermÜlëeS (223 et 224). Quatit à leurs directions, on aura, pour les calculer, l’équation [8] jointe à al — a=0 ; d’où l’on Voit que l’on trouvera, en général, pdür ces angles deux valeurs, et qû’àinsi il peüt y avoir deux systèmes de diamètres conjugués qui fassent un angle donné.
Si l’angle 0 n’est pas connu, bn donnera à a une valeur arbitraire, qui rende O de signe contraire à F, s’il s’agit d'une hyperbole, et l’éqüation [8] déterminera la valeur correspondante de al, et, par suite, l’angle ô, de sorte qu’en résolvant l’équatibü [14], on obtiendra A! et Ü, ët, partant, a et b.
226: La considération de l’équation [14] va nous faire connaître plusieurs propriétés remarquables dont jouissent deux diamètres conjugués, et d’abord que dans C hyperbole l’angle île Jeux diamètres conjugués fie ut pâsser par tous les états de grandeur ; car le dernier terme de cette équation est négatif, puisque B* — 4AC)>0.
Il n’en est pas de meme dans l’eUiftsc; car le dernier tortue de l’équation [13] étant positif, puisque alors B* — 4AC<0; les racines de cette équation peuvent être imaginaires. Or, Iti cbhdition de réalité de cés racines est "
(A-|~C)*sin‘Ô-[-(B’— 4AC)Sin*8^0; d’où sinS^^^]^B .
Si donc on appelle 6, le plus petit des angles positifs qui ont -j- — - pour sinus, on verra que l’angle 6 ne peut varier que depuis G, jusqu’à 180° — G,, et que, s’il est égal à l’une de ces deux limites, les racines de l’équation [14] sont égales, de sorte que A '=C, dont alors a—b (223). Ainsi, dans l'ellifjse, il y a un système de diamètres conjugués qui sont égaux , et il n’y en a qu’un ; car il est facile dé voir que
l’hypothèse sin 6 = rend égales les racines de l’éç
| ^ tvuu L.0UIWO iv. o a aumvo uv< a C(|Uâ“
tiou obtenue, en éliminant a' entre l’équation [8] et a' — a=6 .
Dans ce cas où sin6=— l’équation de i’ellip dëVient
se
c’est-à-diré qu’elle a lâ même formé que l’équation dti cercle rapporté à des axes rectangulaires qui se croisent à son centre.
22*7. Nous avons vu qu’en appelant 2 a et 2b les longueurs de déttx diamètres conjugués , sûr les directions desquels oii Compte respectivement les abscisses bt les Ordonnées, on a
îe signé supérieur se rapportant a l’ellipse et le signe inférieur à l’hyperbole (223 et 224) : or, si l’on substitue ces valeurs dans les équations
A'-f C'=(A-fC)sirt,0 et A'C'= — j(B’ — 4AC)siu’6<
il viendra, après avoir divisé la première par ztF et la seconde par drF'*,
