Tous les angles droits sont égaux
Soient {fi g* i3) les deux angles BAC, B'A'C, qui ont été formés, le premier en élevant la perpendiculaire AB sur AC, le second en élevant la perpendiculaire A'B'
sur A'C; ces de ux angles sont droits, etj^il faut démontrer qu'ils sont égaux. Transportons à cet effet la deuxième figure sur la première, de façon que le point A' tombe en A et que le côté A'C s'applique sur AC; le côté A'B' deviendra alors perpendiculaire sur AC au point A : il s'appliquera donc sur AB, puisque par le point Aon ne peut élever sur AC qu'une seule perpendiculaire. Donc les deux angles BAC, B' A'C coïncideront, c'est-à-dire (11) seront égaux.
ScOLÎE.
20. L'angle droit est donc un type invariable auquel on peut rapporter les autres angles.
On dit qu'un angle e^st aigu ou obtus suivant qu'il est plus petit ou plus grand que l'angle droit. Ainsi, dans là 7?^. 12, l'angle CAY est aigu et l'angle CAX est obtus, . .
Deux angles sont dits complémentaires lorsque leur
DROITES PERPENDICULAIRES. — EGALITE DES ANGLES DROITS. l5
somme est égale à un angle droit. Ainsi, dans \dijig. 12, chacun des angles BAC, CAY est le complément de Tautre. Deux angles qui ont des compléments égaux sont égaux.
Deux angles sont dits supplémentaires lorsque leur
somme est égale à deux angles droits. Ainsi, dans la
Jig. 1 2, chacun des angles CAX, CAY est le supplément
de Tautre. Deux angles qui ont des suppléments égaux
sont égaux.
THÉORÈME
21. Deux angles adjacents ACD, BCD sont supplémentaires si leurs côtés extérieurs AG et CB sont en ligne droite {fig» i4)«
En effet, si CD est perpendiculaire sur AB, le théorème est évident, puisque les angles adjacents ACD, BCD sont droits tous les deux.
Si CD est oblique sur AB, les deux angles ACD, BCD sont inégaux ; soit ACD le plus grand. La perpendiculaire CE, élevée au point C sur AB, tombera dans l'intérieur de cet angle et le décomposera en deux autres ACE et ECD. On ^ura donc
ACD -h BCD = AGE -f- EGD -f- BCD.
Or Tangle ACE est droit, et la somme ECD 4- BCD est égale à Tangle droit BCE. Donc enfin
^ ACD -+- BCD == 9. angles droits.
l6 DROITES PERPENDICULAIRES. — ÉGALITÉ DES ANGLES DROITS.
22. . II résulte de ce théorème que, pour avoir le supplément BCD d'un angle ACD, il suffit de prolonger Tun des côtés AC au delà du sommet.
23. Réciproquement, si deux angles adjacents ACD, BCD sont supplémentaires, leurs côtés extérieurs AC et BC sont en ligne droite.
Car le prolongement de AC doit former avec CD (22) un angle égal au supplément de ACD, c'est-à-dire, à cause de l'hypothèse, un angle égal à BCD; le prolongement de AC ne diffère donc pas de BC.
Corollaires.
24. La somme de tous les angles consécutifs ABD, DBE, EBF, FBC, que Von peut former autour du point B d^une droite AC, d^un même côté de cette droite, est égale à deux angles droits {fig^ i5); car leur somme est évidemment la même que celle des deux angles adjacents ABF, FBC.
Fig. i5. Fig. i6.
25. La somme de tous les angles consécutif s kO^^ BOC, COD, DOE, EOA, que Von peut former autour d'un même point 0, est égale à quatre angles droits [fig^ i6); car, en prolongeant OC, par exemple, suivant OC, on voit que cette somme équivaut à celle des angles C'OA, AOB, BOC, situés d'un côté dé CC, plus celle des angles COD, DOE, EOC, situés de
