TROISIÈME LEÇON

Droites perpendiculaires. — Égalité des angles droits. Angles adjacents supplémentaires.

THÉORÈME

18. Par un point donné A., on peut toujours mener une perpendiculaire à une droite donnéeXY^et Von ne peut en mener qu^une,

i** Supposons le point A sîtué hors de la droite XY

Fig. II.

Désignons par A' le point sur lequel vient s'appliquer le point A, lorsqu'on plie la figure autour de la droite XY, de manière à en rabattre la partie supérieure sur la partie inférieure. Replaçons ensuite la figure dans sa première position et menons la droite déterminée par les deux points A et A' (2). Cette droite est perpendiculaire à XY qu'elle rencontre au point B.

En eff'et, si Ton replie de nouveau la figure autour de XY, BA coïncide avec BA', et les angles adjacents ABX, A'BX sont égaux. Par suite, XB ou XY est perpendi-

DROITES PERPENDICULAIRES. — ÉGALITÉ DES ANGLES DROITS. l3

culaire sur AA' (14) et, réciproquement, AA' ou AB est perpendiculaire sur XY (17).

Toute autre droite AC, distincte de AB et passant par le point A, est oblique sur XY (14).

En effet, si l'on replie encore la figure autour de XY, A vient en A', et l'angle ACB est égal à l'angle A'CB avec lequel il coïncide. D'ailleurs, comme on ne peut mener qu'une droite entre les deux points A et A', GA' diffère du prolongement CD de AG. L'angle ACB égal à l'angle A'CB est donc, comme lui, différent de l'angle DCB ou de l'angle ACX opposé par le sommet à l'angle DCB (16).

2® Supposons le point A situé sur la droite XY

Considérons dans le plan de la figure une autre droite ZU et l'unique perpendiculaire OH (i°) abaissée

Fig. 12.

du point extérieur O sur cette droite. Transportons alors, cette nouvelle figure sur la première, de manière que le point H vienne au point A et que la droite ZU coïncide avec la droite XY. La droite OH deviendra la droite AB et sera une perpendiculaire élevée en A à la droite XY.

On ne peut pas mener par le point A d'autre perpendiculaire à la droite XY; en d'autres termes, toute droite telle que AG, distincte de AB, est oblique à XY. En effet, l'angle BAX étant, par hypothèse, égal à l'angle BAY, on voit que l'angle GAX, égal à la somme des

l4; DROITES PERPENDICULAIRES. — ÉGALITÉ DES ANGLES DROITS.

angles BAX et BAC, diffère nécessairement de l'angle (ÎAY égal à la différence des mêmes angles.

Corollaire.