OE < OD

GOROLLAIRES.

45. La perpendiculaire 01 abaissée d^ un point O sur une droite AB est la ligne droite la plus courte que Von puisse mener de ce point à la droite : sa longueur est ce qu'on appelle la distance du point O à la droite AB.

46. La perpendiculaire 01 étant plus courte que toute oblique OG, il suit du n® 36 que l'angle OGI est moindre que l'angle droit OIG. Donc, lorsque deux

droites AB et OC se coupent, la perpendiculaire 01, abaissée d^un point de Vune sur l'autre, est située dans V intérieur de V angle aigu 0GB formé par ces deux droites.

On peut conclure de là que, dans tout triangle rectangle, les deux angles autres que Tangle droit sont aigus.

ScOLIES.

47. L'exactitude des réciproques des propositions qui précèdent résulte immédiatement du principe général énoncé au n® 9.

I** Si une droite est la plus courte qu^on puisse mener d^un point à une autre droite, ces deux droites sont perpendiculaires entre elles,

1^ Si deux obliques à une même droite partent d'un même point et sont égales entre elles, elles' s'écartent également du pied de la perpendiculaire abaissée du point sur la droite,

3® Si deux obliques à une même droite partent d'un même point et sont inégales, la plus grande s'éloigne le plus du pied de la perpendiculaire abaissée du point sur la droite,

48. D'un même point, on ne peut mener à une droite que deux obliques égales, et ces obliques sont situées de part et d'autre de la perpendiculaire abaissée du point sur la droite.

Exercices et problèmes.

1. Dans tout triangle ABC, une hauteur quelconque AH est moindre que la demi-somme des deux côtés AB et AG

qui partent du même sommet. On en conclut que la somi des hauteurs d'un triangle est moindre que son périmètr

2. Par un point donné A, mener une droite qui fasse d angles égaux avec deux droites données BC, BD.

3. Si, d'un point O pris hors d'une droite XY, on mè sur cette droite différentes obliques OA, OB, OC, . . dont les longueurs soient en progression arithmétique, 1 distances AB, BC, . . . , des pieds des obliques successivi vont en décroissant.

4. Par le sommet A d'un triangle ABC, on mène droite indéfinie XY, perpendiculaire sur la bissectrice l'angle A. Démontrer que, si M est un point quelconqi de XY, le périmètre du triangle BMC est plus grand q celui du triangle donné ABC.

CAS d'Égalité des triangles bectangles.