SCOLIE

107. Remarquons que, dans la symétrie par rapport à un point, deux droites homologues sont parallèles, tandis que, dans la symétrie par rapport à un axe, deux droites homologues quelconques sont également inclinées de part et d'autre de l'axe qu'elles rencontrent au

FIGURES SYMI£TRfQUES. 85

même point. Elles ne peuvent donc être parallèles entre elles que si elles sont parallèles à Taxe.

THÉORÈME

108. La distance de deux points est égale à celle de leurs points symétriques.

En effet, dans le cas de la Jig, 71, on a, par la démonstration même (106, i**), CM = CM' et, aussi, CA= CA', d'où, par soustraction, AM = A'M'.

Dans le cas de la fig. 78, on a (106, 2®) AM'= A'M' comme côtés opposés d'un parallélogramme.

THÉORÈME

109. L* angle de deux droites AB et CD est égal à V angle formé par leurs symétriques A'B' et CD'.

En effet, considérons un point A sur AB, un point C sur CD et le point I d'intersection des deux droites. Soient A', C, F, les symétriques de ces trois points. Les deux triangles AIC, ATC, ayant leurs trois côtés égaux (108), sont égaux et, par suite, Tangle ATC est égal à l'angle AIC.

Si les deux droites AB et CD étaient parallèles, il en serait de même des droites symétriques (107).

THÉORÈME

HO. Deux polygones symétriques ABC, yA^WO...

sont égaux.

En effet, leurs côtés homologues et leurs angles homologues sont égaux (108, 109); mais, pour montrer qu'ils sont superposables, il convient de distinguer les deux espèces de symétrie.

Dans la symétrie par rapport à un centre O

{^fig* 74)> uii observateur, debout au point A sur le plan de la figure et regardant le point B, voit le sommet suivant Ça à sa droite.

De même, un observateur, debout en A' sur le plan de la figure et regardant le point B', voit le sommet suivant G' à sa droite.

Donc, si Ton déplace la figure A'B'C... dans son plan, de façon à faire coïncider A' avec A et B' avec B, le point ÇJ tombera à droite de AB et, comme l'angle en B' est égal à l'angle en B et le côté B'C égal au côté BC, le sommet G' tombera sur le sommet G, ..., et ainsi de suite. Par conséquent, les deux polygones . coïncideront.

Dans la symétrie par rapport à un axe (fig» 70), les deux observateurs, placés comme on vient de le dire précédemment, verraient, au contraire, le premier, le sommet G à sa droite et, le second, le sommet G' à sa gauche.

Donc, si l'on déplaçait la figure A'B'G'... dans son plan, de façon à amener A' en A et B' en B, les sommets G' et G se trouveraient de part et d'autre de ABet

ne pourraient coïncider. Mais, en retournant la figure A'B'C ..., puis en la déplaçant dans son plan de façon à amener encore A' et B' en A et en B, le sommet C

Fig. 75.

tombera à droite de AB et coïncidera avec le sommet C, d'après l'égalité des angles B' et B et des côtés B'C et BC, ...,*et ainsi de suite. Par conséquent, les deux polygones coïncideront encore.

En résumé, deux polygones symétriques par rapport à un centre sont superposât les directement, tandis que deux polygones symétriques par rapport à un axe ne le sont^ en général, qu^vuks retournement de l'un d'eux.

ScOLIE GÉNÉRAL.

m. Si une figure est telle que ses points considérés deux à deux soient symétriques par rapport à une droite, on dit que cette droite est un axe de symétrie de la figure.

Ainsi, le triangle isocèle a pour axe de symétrie la perpendiculaire abaissée de son sommet sur sa base, et