Dans le même cercle ou dans des cercles égaux

I® Deux angles au centre égaux interceptent des arcs égaux ;

2** Si un angle au centre est la somme de deux autres angles au centre^ Varc intercepté par cet angle est la somme des arcs interceptés par les deux autres {fi g* loi).

I® Soient AOB, A'0'B',deux angles au centre égaux entre eux ; les deux arcs correspondants AB et A'B' seront égaux. En effet, en menant les cordes AB, A'B', on forme deux triangles AOB, A'O'B', qui sont égaux comme ayant un angle égal compris entre deux côtés

égaux, savoir; FaDgle AOB égal à l'angle A'O'B' par hypothèse, et les côtés OA = O' A', OB = O'B', comme rayons de cercles égaux. Donc la corde AB est égale à la corde A'B', et, par suite (131), les arcs AB et A'B' que ces cordes sous-tendenl sont égaux entre eux.

au centre; 5 du second, 1 qui soit la BC sera évi- G, et comme

correspon- ABC sera la

ns le même ort de deux ? arcs qu'ils 3 au centre ^espondant.

3 Varc quHl ite de son quelconque, gle l^ angle

au centre qui intercepte sur cette circonférence l'arc choisi pour unité d'arc.

En effet, soient {fig. 102) AOB Tangle à mesurer et AB Tare qu'il intercepte sur la circonférence de rayon arbitraire OA; AC étant l'unité d'arc, l'angle correspondant AOG sera, par hypothèse, l'unité d'angle. On

AOB AOG

arc AB arc AG

Or le premier rapport est égal au nombre qui mesure Tangle AOB, et le second est égal au nombre qui mesure l'arc AB. Donc, dans le système d'unités adopté, le nombre qui mesure l'angle AOB est le même que celui qui mesure l'arc AB.

Fiff,

Comme ce théorème est d'un usage très fréquent, on préfère l'énoncer d'une manière plus rapide, quoique incorrecte. D'abord, on sous-entend la condition relative à la correspondance des unités ; puis on dit a pour mesure, au lieu de a la même mesure que ; et l'on arrive ainsi à cet énoncé usuel : tout angle au centre a pour mesure l'arc compris entre ses côtés.

ScOLIE.

168. Lorsqu'on prend l'angle droit pour unité, l'arc unité est le quart de la circonférence ou le quadrant ;

R. et DE C. — Leçons, 1. 9

roil {fig, 102) OA, formés pa Iroils, et par s ;D, DA sont c t le quart de la

un cercle a p entre ses côtés

m cercle O. P îsure la moitié convient de dis

des côtés AC le rayon BO ; le Aet B sont égaux, ut à l'angle exté- »itié de BOC; mais aet au centre du ic l'angle proposé îBG.

Fig. io5.

r de l'angle BAC^ >; l'angle BAC est li, d'après le premre^BDet^DC.

MESURE DES ANGLES. l3l

La somme de ces deux arcs, c'est-à-dire la moitié de l'arc BDC, est donc la mesure de Tangle proposé BAC. 3"* Le centre O tombe en dehors de l'angle BAC ifig' io5). Menons le diamètre AOD; l'angle BAC est la différence des angles BAD, CAD, qui, d'après le premier cas, ont respectivement pour mesure ^BD et ^CD; la différence de ces arcs, c'est-à-dire la moitié de l'arc BC, est donc la mesure de l'angle proposé BAC.

Corollaires.

170. Supposons {fig- io5) que, le côté AC restant iixe, la corde AB tourne autour du sommet A, de manière à devenir la tangente AT au point A; dans toutes les positions de la corde AB, l'angle inscrit BAC aura pour mesure la moitié de l'arc correspondant BC; donc, à la limite, V angle TAC, formé par une tangente KY et une corde AC issue du point de contact, a pour mesure la moitié de Varc AC compris entre ses côtés.

On peut d'ailleurs démontrer ce théorème, indépendamment de toute notion de limite. Il suffit, par exemple, d'observer que l'angle TAC est l'excès de l'angle droit TAD sur l'angle inscrit CAD; sa mesure est donc l'excès de la moitié de la demi-circonférence ABD sur la moitié de l'arc CD, ou enfin la moitié de l'arc AC.

171. On appelle segment la portion de cercle comprise entre un arc et sa corde. A chaque corde AB correspondent deux segments ACB, AMB {fig» io6). Ou dit qu'w/î angle est inscrit dans un segment lorsque son sommet est situé sur l'arc du segment et que ses côtés passent par les extrémités de la corde sous-tendante. Ainsi les angles ACB, AEB^ sont inscrits dans le

l32 MESIJRE DES ANGLES.

segment AGB, et l'angle AMB est inscrit dans le segment AMB.

Tous les angles inscrits dans un même segment sont égaux; ainsi, les angles AGB, AEB sont égaux comme ayant Tun et l'autre la moitié de l'arc AMB pour mesure.

Fig. io6.

Tout angle inscrit dans l'un des deux segments déterminés par une même corde est le supplément d' un angle quelconque inscrit dans Vautre segment. Ainsi les angles AGB, AMB sont supplémentaires, car leurs mesures | arc AMB et \ arc AGB forment en somme la moitié de la circonférence.

Tout angle inscrit dans un segment est aigu, droit ou obtus, suivant que ce segment est supérieur, égal ou inférieur à un demi-cercle ; car l'arc compris entre les côtés de l'angle est alors inférieur, égal ou supérieur à une demi-circonférence.

On dit qu'w/i segment de cercle est capable d^un angle donné, lorsque les angles inscrits dans ce segment sont égaux à l'angle considéré; ainsi le segment capable d^un angle droit est un demi-cercle.

THÉORÈME

172. Tout angle BAG, formé par deux sécantes qui se rencontrent à l'intérieur du cercle, a pour mesure la demi-somme des arcs BG et DE compris entre ses côtés et entre ses côtés prolongés {Jig^ 107).

MESURE DES ANGLES. l33

En effet, en menant DC, on voit que Tangle BAC, extérieur au triangle ACD, est égal (78) à la somme des

Fih. 107.

Fig. 108.

angles inscrits ADC, ACD, qui ont respectivement pour mesure |BC et IDE.

173. Tout angle BAC, formé par deux sécantes qui se rencontrent hors du cercle, a pour mesure la demi-dijfférence de Varc concave BC et de Varc convexe DE compris entre ses côtés {fig* 108).

En effet, en menant DC, on voit que Tangle BDC, extérieur au triangle DAC, est la somme des angles A et C; par suite, l'angle A est Texcès de Tangle BDC sur l'angle C; sa mesure est donc l'excès de ^BC sur \ DE, c'est-à-dire ^(BC — DE).

En faisant tourner autour du sommet A l'un des côtés, ou même les deux côtés de l'angle, jusqu'à ce qu'ils deviennent tangents à la circonférence, on voit que le théorème subsiste pour l'angle formé par une tangente et une sécante qui se coupent hors du cercle, et pour l'angle de deux tangentes.

l3{ MESVhE DES ANGLES.

Exercices et problèmes.

f . On donne deux circonférences concentriques autour de O, et Ton demande de les couper par une sécante telle, que la partie interceptée sur cette sécante par la plus grande des deux circonférences soit double de la partie interceptée par la plus petite.

2. On donne deux cercles égaux A et B, dont chacun passe par le centre de Tautre. Si une corde commune quelconque est tirée parallèlement à la ligne des centres AB, en déterminant la corde CF sur la circonférence A et la corde ED sur la circonférence B, les figures ACEB, AFDB sont des parallélogrammes. De plus, si l'on prolonge AF, de manière à couper encore la circonférence A en G et la circonférence B en 11, on a EF = FH et CDzrrGH. .3. Si l'on mène à une circonférence une tangente quelconque, la partie interceptée sur celte tangente par deux tangentes fixes, menées aux extrémités d'un même diamètre, est vue du centre de la circonférence sous un angle droit.

k. A étant un point quelconque pris sur un diamètre (ou son prolongement) d'une circonférence donnée O, on mène le rayon OB perpendiculaire à ce diamètre. Si la droite AB coupe une seconde fois. la circonférence en P, et si la tangente en P coupe en C le diamètre OA., on a AC = CP.

5. On donne dans une circonférence O deux cordes AB et CD, la corde CD passant par le milieu E de la corde AB. On mène des tangentes à la circonférence par les extrémités de la corde CD, et l'on prolonge la corde AB jusqu'aux points P et Q où elle rencontre ces tangentes. Prouver que les segments compris sur AB entre ces tangentes et la circonférence sont égaux, c'est-à-dire qu'on a AP = BQ.

AIESVRES DES ANGLES. l35

6. A, B, C étant trois points quelconques d'une circonférence O, D le milieu de Tare AB et E le milieu de Tare AC, la droite DE coupe respectivement en F et en G les cordes AB et AC : démontrer que AF = AG.

7. ABC étant un triangle inscrit dans une circonférence O (149), on joint le centre O au milieu D de Tare BC et Ton mène AD. Démontrer que l'angle ADO est la moitié de la difFérence des angles B et C du triangle.

8. Si, par l'un des points d'intersection A de deux circonférences O et O', on trace une sécante quelconque BAC, les tangentes BM et CM, menées en B et en C à chacune des deux circonférences, se coupent sous un angle constant.

9. On donne deux circonférences O et O' qui se coupent en A et en B. On mène, par un de leurs points d'intersection A, une sécante commune déterminant dans les deux circonférences deux cordes AB et AC en prolongement, ou deux cordes AM et AN en recouvrement. On demande d'étudier les variations de longueur de la somme des cordes ainsi interceptées par les deux circonférences sur la sécante commune, lorsaue cette sécante occupe toutes

)urnant autour du point d'in-

l36 LIEU DES POINTS d'oU l'oN VOIT UNE DROITE.