VINGT-QUATRIÈME LEÇON

Lieu des points d'où l'on voit une droite' sous un angle donné. — Quadrilatère inscriptible.

THÉORÈME

174. Dans la portion de plan située au-dessus d^une droite BC, le lieu des points d'oà Von voit cette droite sous un angle donné est un arc de cercle passant par les extrémités ^ et C de cette droite {fig. 109).

Fig. 109.

En effet, soient A un point du lieu et BMACN la circonférence déterminée par les trois points A, B, C. i« De tout point M de Tare BMAC on voit la droite BC sous un angle é^al à BAC (171 J ; 2° de tout point I pris à l'intérieur du segment BMAC, on voit la droite BC sous un angle BIC plus grand que BAC, puisque (172) sa mesure excède la moitié de Tare BNC; 3*^ de tout point E extérieur au segment BMAC et situé au-dessus

LIEU DES POINTS d'oU l'oN VOIT UNE DROITE.... liy

le la droite BG, on voit cette droite sous un angle BEC moindre que BAC, puisque sa mesure est plus petite que la moitié de l'arc BNC (173). L'arc BMAC est donc le lieu cherché.

11 résulte de là que l'arc BA'C, sur lequel s'applique l'arc BMAC, lorsqu'on replie la figure autour de BC, est, au-dessous de BC, le lieu des points d'où l'on voit la droite BC sous l'angle donné.

Donc, enfin, le lieu des points d^oîi Von voit une droite BC sous un angle donné se compose de deux arcs de cercle égaux entre eux et passant par les extrémités B et C de cette droite.

Remarquons, en outre, que l'ensemble des arcs BNC, BN'C représente le lieu des points d'où l'on voit la droite BC sous un angle supplémentaire de l'angle considéré (171).

Si l'angle considéré est droit, les deux arcs BAC, BA'C sont des demi-circonférences décrites sur BC comme diamètre. Donc, le lieu des points d^où l'on voit une droite sous un angle droit est le cercle décrit sur cette droite comme diamètre.

THÉORÈME

175- Bans tout quadrilatère conçexe inscrit dans un cercle, les angles opposés sont supplémentaires.

En effet {Jig- iio) considérons par exemple les angles opposés, B et D. La corde AC détermine deux

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I >8 LIEU DES POINTS d'oU l'oN VOIT UNE DROITE....

segments ADC, ABC, et nous avons vu (171) que tout angle D inscrit dans le segment supérieur est le supplément de tout angle B inscrit dans le segment inférieur.

176. Réciproquement, si, dans un quadrilatère convexe ABCD, deux angles opposés B et D sont supplémentaires, le quadrilatère est inscriptible ; en d'autres termes, la circonférence déterminée par les trois points A, B, C, passera par le quatrième sommet D.

En effet, le sommet D est un point situé au-dessus de AC, et d'où Ton voit la corde AG sous un angle supplémentaire de l'angle B; or l'arc AMC est le lieu des points du plan quijouissent de cette propriété (17i).

1. Par l'un des points d'intersection A de deux circonférences O et O' qui se coupent, on mène deux sécantes quelconques BAC, DAE : démontrer que les cordes BD et CE, qui joignent respectivement leurs extrémités, se rencontrent en M sous un angle constant.

2. Les hauteurs AÀ', BB', CC d'un triangle quelconque ABC sont les bissectrices des angles du triangle A'B'C^

3. Sur les trois côtés d'un triangle quelconque ABC, on construit, extérieurement à ce triangle, les triangles équilatéraux BCA, CAB', ABC, et l'on demande de démontrer : jo que les trois droites AA', BB', CC sont égales; 2° qu'elles concourent en un même point O; 3<» que, de ce point O, on voit sous le même angle les trois côtés du triangle ABC.

k. Dans une circonférence O, on mène par le milieu A

LIEU DES POINTS d'oÙ l'oN VOIT UNE DROITE.... l3g

d'un arc BAC deux cordes quelconques AD et AE qui coupent en F et en G la corde BC. Démontrer que le quadrilatère DFGE est inscriptible.

5. Un triangle équilatéral ABC étant inscrit dans une circonférence, Tare qui sous-tend chaque côté est le lieu des points dont la somme des distances aux extrémités de l'arc ou aux sommets correspondants du triangle est égale à la distance au troisième sommet du triangle.

6. Les bissectrices des angles extérieurs d'un quadrilatère convexe forment un quadrilatère inscriptible.

7. Lorsque les côtés d'un angle rencontrent deux circonférences, les cordes des arcs interceptés sur ces deux cirr conférences, convenablement prolongées, forment un quadrilatère inscriptible.

8. Si, d'un point quelconque de la circonférence circonscrite (14.9) à un triangle ABC, on abaisse des perpendiculaires sur les trois côtés du triangle, les pieds de ces perpendiculaires sont en ligne droite.

l4o USAGE DE LA RÈGLE ET DU COMPAS.

YINGT-CINQUIÈME LEÇON.

Usage de la règle et du compas. — Construction des angles. — Division de la circonférence. — Rapporteur.

177. Les solutions des problèmes doivent se traduire pratiquement à l'aide du dessin, et il faut alors recourir à l'emploi de quelques instruments.

On se sert surtout, dans la construction graphique des figures, de la règle et du compas, et l'on ne regarde habituellement, comme résolubles géométriquement, que les problèmes qui n'exigent, pour être construits graphiquement, que l'emploi de ces deux instruments.

Nous avons déjà parlé de Tusage de la règle (H4 et suiv.) avec laquelle on peut tracer des droites passant par deux points donnés.

Quant au compas, instrument également bien connu, il permet, soit de prendre la distance de deux points, soit de décrire autour d'un" centre donné un cercle de rayon donné. Il est formé, comme on le sait, de deux tiges métalliques terminées en pointe à l'une de leurs extrémités, et qui constituent les branches du compas. Ces branches sont, à leur autre extrémité, assemblées à charnière, et cette charnière permet d^ ouvrir plus ou moins le compas en écartant ou en rapprochant ses branches, c'est-à-dire de faire varier leur angle et la distance de leurs pointes.

Quand il s'agit seulement de prendre des distances à l'aide du compas, on emploie le compas à pointes

USAGE DE LA REGLE ET DU COMPAS. l4l

sèches. Mais, pour décrire une circonférence de centre et de rayon donnés, Tune des branches devant être fixe et l'autre mobile, on termine la branche mobile par un crayon bien taillé ou par un tire-ligne qu'on ajuste sur elle par l'intermédiaire d'une vis, et qui remplace sa pointe sèche. On ouvre ensuite, le compas de manière que la distance de ses pointes soit égale au rayon imposé, et, la pointe sèche de la branche fixe étant placée au centre indiqué, on fait tourner le compas en appuyant contre la feuille de dessin la pointe du crayon ou du tire-ligne de la branche mobile, qui décrit alors la circonférence.

178. Par un point B d'une droite BC, mener une seconde droite qui fasse avec la première un angle égal à un angle donné A {fig- m).

Fig. III.

Du point A comme centre, avec une ouverture de compas arbitraire, mais assez grande, décrivez un arc de cercle qui coupe en D et E les côtés de l'angle donné A : avec la même ouverture, et du point B comme centre, décrivez un second arc de cercle GF, qui coupe en F la droite BC. Prenez avec le compas la longueur de la corde DE (il est inutile pour cela de tracer celte corde), et du point F comme centre, avec cette ouverture, décrivez un arc de cercle qui coupe en H l'arc GF; la droite BH sera la droite demandée.

En effet, les arcs.HF et DE ayant des rayons égaux