Mener une tangente commune à deux cercles O et O

Supposons le problème résolu.

1** Soit AA' une tangente commune extérieure, c'est-à-dire qui laisse les deux cercles d'un même côté {fig- iSa). Si, par le centre O' de l'un des cercles,

Fig. i32.

on imagine une parallèle O'B à AA', cette parallèle sera, comme AA', perpendiculaire sur le rayon OA. Elle sera donc tangente en B au cercle décrit du point O comme centre avec OB pour rayon ; or, la figure ABO'A' étant un rectangle, on a

AB = A'O', et, par suite, OB = OA — AB = OA — O'A'.

On est ainsi conduit à la construction suivante : décrivez une circonférence du point O comme centre,

avec un rayon égal à la différence des rayons des cercles | donnés, et par le point O' menez une tangente à circonférence auxiliaire; B étant le point de co obtenu, tirez OBA, menez O'A' parallèle à OA joignant les points A et A', vous aurez la tanj cherchée.

Pour que le problème soit possible, il faut et il que le point O' ne soit pas à l'intérieur du cercle liaire.

On doit donc avoir

00'>0B, c'est-à-dire OO'^OA-O'A',

ce qui revient à dire (136) que les deux, cercles posés O et O' ne doivent pas être intérieurs 1 l'autre.

Si les deux cercles O et O' sont extérieurs, tan extérieurement ou sécants, on a 00'>>0A — 0^ point O est extérieur au cercle auxiliaire, et l'on par ce point mener deux tangentes à ce cercle; les deux cercles donnés ont, dans chacun de ceî deux tangentes communes extérieures.

Si les deux cercles sont tangents intérieuremen a 00'= OA— O'A'; le point O' est sur la cire rence auxiliaire; on ne peut donc mener par ce qu'une tangente à ce cercle et, par suite, les cercles O et O' ont une seule tangente commune rieure.

2° Soit EE' une tangente commune intérieure, à-dire qui laisse les deux cercles O et O' de côté férents {/ig- i33). En imaginant, comme ci-dessuî parallèle O'F à EE', on verra que cette parallèl tangente à un cercle concentrique au cercle O et ( avec un rayon OF égal à la somme OE+O'E rayons des cercles donnés, d'où l'on déduira la

siruction suivante : décrivez du centre O de l'un des cercles une circonférence, avec un rayon égal à la somme des rayons des cercles proposés, et du point O' menez une tangente à ce cercle auxiliaire; F étant le point de

contact, lirez OEF, menez O'E' parallèle à OF, et, en joignant les points E et E', vous aurez la tangente demandée.

Pour que le problème soit possible, il faut et il suffit que le point O' ne soit pas à l'inlérieur du cercle auxiliaire; on doit donc avoir

OO'èOF ou OO'^OE-4-O'E',

ce qui revient à dire (156) que les deux cercles proposés O et O' doivent être extérieurs Tun à l'autre ou tangents extérieurement.

Dans le premier cas, on a 00'> OE -f- O'E'; le point O' est extérieur au cercle auxiliaire; on peut donc mener par ce point deux tangentes à ce cercle, et les deux cercles O et O' ont deux tangentes communes intérieures. Dans le second cas, on a 00'= OE -f- O'E'; le point O' est sur la circonférence auxiliaire; on ne peut donc mener par ce point qu'une tangente à ce cercle, et, par suite, les cercles proposés O et O' ont une seule tangente commune intérieure.

En résumé :

Deux cercles extérieurs {fig> li^) ont quatre tan- | génies communes, deux extérieures, deux intérieures

Fig. i3^.

Deux cercles tangents extérieurement (/ig- i35) on trois tangentes communes, deux extérieures, une intérieure.

Fig. i35. Fig. i36.

Deux cercles sécants {/ig- 1 36) ont deux tangentes communes qui sont extérieures.

Deux cercles tangents intérieurement {/igune seule tangente commune, qui est extériei

Fig. 137.

Deux cercles intérieurs l'un à l'autre n'oni tangente commune.

On voit aisément que les tangentes, soit intérieures^ soit extérieures {Ji g, i33), se coupent sur la ligne des centres, qui est la bissectrice commune de leurs angles, et qu'elles sont égales entre elles (195).

Exercices et problèmes,

1. Construire un triangle ABC, connaissant le cercle inscrite et Tun des trois cercles ex-inscrits O', O^', O'^.

2. Construire un triangle ABC, connaissant deux des trois cercles ex-inscrits.

3. Construire un triangle ABC, connaissant Tanglç A» le côté opposé BC et le rayon du cercle inscrit.

k. Construire un triangle ABC, connaissant l'un ders côtés BC, la somme des deux autres côtés et le rayon du cercle inscrit.

5. Construire un triangle ABC, connaissant son périmètre, l'angle A et le rayon du cercle inscrit.

6. Construire un triangle ABC, connaissant l'angle A, la hauteur h abaissée du sommet A sur le côté opposé BC et le périmètre 2p,

7. Des sommets d'un triangle ABC, comme centres, décrire trois circonférences qui se touchent deux à deux.