Les aires, des cercles sont proportionnelles

aux àarrés de leurs rayons. 4 , ^

t * Désignons, en effet, par R et par R' les longueurs des

rayons de deux cercles. Leurs aires, étant représentées par tc R 3 et par ir.R' 3 ^381), serout entre elles dans le rapport de ces deux nombres, et par conséquent dans celui de R J à R' 3 .

401 . CohÔLTAitiF i. Si l'on décrit trois dctui-cir-' conférences sur les trois' eûtes d'un triangle rcctangleYi$. 188. ABG, l'aire de ce triangle* sera égale h la somme de

celtes des deux i.enui.f.s A MB K et APCQ.

En effet, de la suite de rapports égaux

-, ce/c. AB : A B’ : ; cerc. AG : A G ' : : cérc. CB : G B 1 ,

on tire v

ccrc. AB-f cm\ AC : AB*-f AC* :: cerc.CB : CB*,

or, les conséquents étant égaux, les antécédents le seront aussi, c’est-à-dire que le cercle décrit sur CB est la somme des deux autres cercles décrits sur AB et sur AC; donc le demi-cercle BMAPC est équivalent à la somme des deux autres B NA et AQC. Mais, en retranchant d’une part les deux segments AMB et APC, il restera le triangle ABC; eten retranchant de l’autre part les mêmes segments, il reste les deux lunules : donc, etc.

402. Corollaire ii. Les aires de deux secteurs semblables , c’est-à-dire qui correspondent à des angles' au centre égaux, sont pmporlionndlcsjxux carrés de leurs rayons.

Soient, en effet, S et S' les aires de ces deux secteurs; a et a' les arcs qui leur servent de hase; et R et B' les rayons des cercles dont ils font partie. On aura, d’après le n° 505 :

S:S' :: fl.Rrrz'.R'.

Mais, puisque les secteurs sont semblables, leurs arcs le sont aussi (555j ; donc on aura : . ■

Multipliant ces deux proportions par ordre , et simplifiant, il viendra :

S fS' R’:R\

405. (Corollaire iii. Les aires de délit segments 159. semblables , c’est-à-dire qui correspondent a des angles au centre égaux, BAC et B A C', sont pwportionnelles aux carrés des rayons des cercles dont ils font partie ,

En effet, les deux secteurs OACB et O'A'C'll' sont semblables ; donc on a (402) :

OACB: O' A'C B' ! : OA* : ÜT\ P

Mais les triangles AOB et A'O'B' sont aussi semblables (255) : donc (597)

AOB : AOB' ::ÜT : ÜT*; *

donc, à cause du rapport commun ,

O AC B : O'A'CB' :: AOB : A'O'B'; d’où dividendo ,

OACB— AOB : O'A'C'B'— A'O'B' :: OACB : O'A'C'B', ou ::OA’ : O' A'*,

c’est-à-dire ,

ACB:A'C'B'::ÔT:Ô r P;