CHAPITRE PREMIER

1576. On appelle polyèdre un corps terminé de toutes parts par des plans. Ces plans se coupent deux à deux suivant des lignes droites : de sorte que le polyèdre se trouve ainsi limité par uue série de polygones que l’on nomme scs faces , et dont l’ensemble forme sa surface. Les côtés de ces faces sont les arêtes du polyèdre, et ses sommets sont ceux mêmes de ses angles polyèdres. Enfin on appelle diagonale la droite qui joint deux sommets non adjacents à la même face.

Ü77. Un polyèdre est convexe ou à angles saillants lorsqu’une ligne droite ne peut rencontrer sa surface en plus de deux points; dans le cas contraire, il est concave ou à angles rentrants.

«578. On classe les polyèdres d’après le nombre de leurs faces. Ainsi on appelle

tétraèdre un polyèdre qui a 4 faces,

pentaèdre 5

hexaèdre. 6

etc.

On ne pousse guère cette nomenclature, au delà du polyèdre de huit faces, que pour le dodécaèdre et Y icosaèdre, polyèdres de douze, et de vingt faces.

Remarquons que le -tétraèdre est le plus simple des polyèdres; car il faut au moins trois plans pour former un angle polyèdre, et ces trois plans laissent un vide que l’on ne peut fermer qu’à l’aide d’un quatrième

282 I.RÇONS DE GÉOMÉTRIE.

plan. Il est clair que les faces du tétraèdre sont des

triangles.

Théorème I.

Fig. 247. 879. Deux tétraèdres S ABC et S'A' IV C' sont

égaux lorsqu'ils ont leurs arêtes égales chacune à chacune, et que les faces formées par les arêtes homologues sont semblablement placées.

Il suit immédiatement de cet énoncé que le trièdre S, par exemple, est égal au trièdre S' (167 et 497), de sorte qu’en superposant ces deux trièdres, les deux tétraèdres auront leurs sommets confondus, et par conséquent coïncideront parfaitement.

Théorème II.

880. Deux tétraèdres SABC et S'A'B'C' sont égaux lorsqu’ils ont un angle dièdre égal AB = A' B' compris entre deux triangles SAB et S'A' B', ABC et A" B' C', égaux chacun a chacun et semblablement olacés.

C’est la démonstration même du n° 189.

TnÉORÈME III.

881. Deux tétraèdres SABC et S'A'B'C' sont égaux lorsqu'ils ont une face égale ABC = A'B'C', adjacente h trois angles dièdres égaux chacun h chacun , et dont les faces homologues sont semblablement placées.

C’est la démonstration même du n° 161.

882. Les tétraèdres sont dans l’espace ce que les triangles sont sur un plan. Ainsi, de même que l’on détermine la position d’un point sur un plan en le liant par un triangle à deux autres points donnés sur ce plan, de même aussi on fixe la position d’un point dans l’espace en le liant par un tétraèdre avec trois autres points donnés : d’où il suit qu’un polyèdre quelconque sera déterminé en donnant les sommets de trois de ses angles polyèdres, et leurs distances à tous

les autres (579): Je sorte qu’en désignant par S le nombre total de ses sommets, sa détermination exige que l’on connaisse les 3 (S — 3) lignes qui vont aboutir aux sommets du triangle que l’on a choisi pour base, et en outre les trois côtés de ce triangle, ce qui fait en tout 3 (S — 3) + 3 = 3 (S — 2) données. Observons toutefois que Legendre a reconnu que le nombre de ces données peut être beaucoup moindre que 3 (S — 2).

585. On appelle pyramide un polyèdre dont une des Jaces est un polygone quelconque , cl dont toutes les autres sont des triangles qui ont leur sommet au même point. Ainsi S ABC DE est une pyramide dont

Je polygone ABC DE est la base, et S le sommet. La Fig. 248 . perpendiculaire SO, abaissée du sommet sur la base, est la hauteur de la pyramide.

Une pyramide est dite triangulaire , quadrangulaire, pentagonale , etc. , selon que sa base est un triangle, un quadrilatère , un pentagone, etc. Une pyramide triangulaire n’est autre chose qu’un tétraèdre.

584. Si l’on observe que la surface latérale d’une pyramide peut être engendrée en faisant glisser sur le contour de sa base une ligne droite assujettie à passer par son sommet, on en conclura qu’un cône n’est qu’une pyramide dont la base a un nombre infini de côtés infiniment petits (509).

585- Une pyramide est régulière lorsque sa base est un polygone régulier , et qu'en même temps son sommet se projette au centre des cercles inscrit et circonscrit h ce polygone.

586. Si l’on construit deux cônes qui aient ces cercles pour bases, et pour sommet commun celui de la pyramide, il est clair que le premier touchera chaque face latérale de cette pyramide (527) suivant la ligne qui va du sommet au milieu de la base de cette face, et que les arêtes de la pyramide seront des génératrices du second cône. En conséquence, on dit que ces cônes sont inscrit et circonscrit à la pyramide, et la géué-

28 i LEÇONS DE GÉOMÉTRIE.

ratricc du premier se nomme X apothème de cette pyramide.

Théorème IV.

387. Si l'on coupe une pyramide par un plan parallèle h sa base , les arêtes et toutes les lignes issues du sommet seront coupées par ce plan en parties proportionnelles (463 J; la section sera un polygone semblable a la base , et les aires de ces polygones seront proportionnelles aux carrés de leurs distances

Fig. 248. tttt sommet.

Soit la pyramide S ABC DE et A'B'C'D'E' la section faite dans cette pyramide par un plan parallèle à sa base.

1° Je dis d’abord que le polygone A'B'C'D'E' est semblable à ABC DE. En effet, ces polygones sont, équianglcs, puisque leurs angles ont leurs côtes parallèles et dirigés dans le même sens. Ensuite ils ont leurs côtés homologues proportionnels, car la similitude des triangles SAB et S'A'B', SBC et S B C', SCD et S'C'D', etc., donne