ABCDE : A'B'C'D'E' :: ÂÏÏ‘ : Â7F* :: SB’ : SB 7 ’ :: SÔ* : S(J

388. Corollaire. Si les bases de deux pyramides de même hauteur SO et TH sont situées sur un même plan y les aires des sections A'B'C'D'E' et F'G'I'K.',. faites dans ces pyramides par un plan parallèle a celui-là , seront proportionnelles aux bases ABCDE et FG1K.

On a en effet les deux proportions

ABCDE : A'B'C'D'E' :: St? : SÔ 7 ’,

FGIK :FG'I' K' ::TH*:TïF’; mais, par hypothèse, SO = TH, et SO' = TH':

donc

ABCDE : FGIK :: A'B'C'D'E' : F'G'I'K'.

i>89. On nomme parallélipipède un corps ter- Fig- 249. mine par six plans parallèles deux a deux.

Il suit de cette définition qu’un paraliélipipède est détermine lorsque l’on connaît trois arêtes et l’angle trièdre qu’elles forment; car il suffit alors, pour le construire, de mener par l’extrémité de chaque arête un plan parallèle à celui des deux autres.

Théorème V.

i»90. Les faces d’un paraliélipipède sont des parallélogrammes ; celles qui sont opposées sont égales; les angles trièdres opposés sont symétriques ; et les diagonales menées par les sommets de ces angles se coupent mutuellement en deux parties égales dans un même point, qui est le centre du paraliélipipède.

1° Chaque face telle que AB CD est un parallélogramme , parce que scs côtés opposés sont parallèles comme intersections de deux plans parallèles paF un troisième.

2° Les deux faces opposées ABCD et FGIK ont leurs côtés AB et F G, B C et GI, égaux et parallèles (174): donc elles ont un angle égal (488) compris entre côtés égaux chacun à chacun, et sont par conséquent égales (181).

3° Si l’on prolonge les arêtes du trièdre C, on formera un trièdre C B'D'I' symétrique de CBID (498), mais qui sera égal au trièdre F ; car leurs faces sont égales chacuuc à chacune (488), et semblablement placées : donc le trièdre CBID est le symétrique de F.

4° Considérons les deux diagonales B K et G D qui

joignent les sommets opposas B et K et G cl 1). Il est clair qu’en joignant BD et GK, on formera un parallélogramme IJDGR (178) , dont ces lignes seront les diagonales : donc elles se coupent mutuellement en parties égales. 11 en sera évidemment de même pour l’une quelconque des deux diagonales B K. et G 1), et chacune des deux autres AI et CF : donc les quatre diagonales qui joignent les sommets opposés se coupent au même point et en deux parties égales.

5° Je dis enfin que leur point de section O est le centre du parallélipipède. Menons, en effet, par ce point une droite quelconque MN, et soient M et N les points où elle perce les deux faces opposées B F et CR. Si nous faisons passer un plan par cette droite et par la diagonale BK, ses traces BM et K.N sur ces deux faces seront parallèles f451) : donc les triangles OBM et OR N auront un côté égal BO = OK adjacent à deux angles égaux chacun à chacun, savoir, BOM = KON (49) et OBM = OKN (69, 1°); donc ils seront égaux; donc OM = ON; donc toute ligne qui , passant par le point O, va se terminer a la surface du parallélipipède, est divisée en ce point en deux parties égales; donc ce point est le centre de cette surface (180).

891. Deux faces opposées quelconques d’un parallélipipède se nomment ses bases, et la perpendiculaire abaissée d’un point de l’une sur l’autre est sa hauteur.

892. Un parallélipipède est droit lorsque ses arêtes latérales sont perpendiculaires aux plans des bases; mais si, en outre, ces bases sont des rectangles, on lui donne le nom de parallélipipède rectangle, car toutes scs faces sont alors des rectangles.

895. Si les trois arêtes contiguës d’un parallélipipède rectangle sont égales, ses six faces deviennent des carrés, et on l’appelle alors un cube. Il est clair que le cube est à la fois inscriptible et circonscriptible à la sphère.