Etant données les deux projections A H et A 11' Fig
Dig
NOTIONS ELEMENTAIRES
d'une droite , construite scs traces, c’est-à-dire les points ou elle pave les plans de projection (').
La trace horizontale de la droite donnée étant ellemême sa propre projection horizontale, doit ainsi se trouver sur AB : d’un autre côté, clic se projette verticalement et sur la ligne de terre LT et sur A'B' (0), c’est-à-dire au point C' où ces droites se coupent; donc elle se trouve sur la perpendiculaire élevée parce point à LT (6); donc elle est au point C. Donc, pour construire la trace horizontale d'une droite , il faut prolonger la projection verticale de cette droite, jusqu'il la ligne de terre ; au point d' intersection , élever une perpendiculaire à celte ligne, et le point ou celle perpendiculaire coupera la projection horizontale de la droite sera la trace cherchée.
La trace verticale de la droite donnée étant ellemême sa propre projection verticale, doit ainsi sc trouver sur A'B' : d’un autre côté, elle sc projette horizontalement et sur la ligne de terre et sur AB, c’est-àdire au point 1), où ces droites sc coupent; donc elle se trouve sur la perpendiculaire élevée par ce point à LT; donc elle est au point D'. Donc pour construire la trace verticale d’une droite il faut prolonger sa projection horizontale jusqu'il la ligne de terre; au point d' intersection , élever une perpendiculaire il celte ligne , et le point ou cette perpendiculaire coupera la projection verticale de la droite, sera la trace cherchée.
Problème II.
Fig. 2. 14. Par un point M, M \ donné dans P espace, ine-
(’) Avant d’entreprendre une épure, ou trace , avec le plus grand soin et à l’aide d’un compas, deux droites qui soient rectangulaires ( O., 1 27 ) et qui partagent chacune la feuille de dessin en deux. parties égales. Ces deux droites serviront de directrices pour tracer avec une équerre la ligne de terre parallèlement à l’une d’elles (G., 131, 3°) ainsi que les droites qui devront lui cire parallèles ou perpendiculaires.
ner une parallèle a une droite donnée (A 15 , A' B ) et trouver la longueur d’une, partie de cette droite comprise entre le point (M, M' ) et un autre de ses points choisi arbitrairement.
Nous avons vu (G., 4;>9) que la condition nécessaire et suffisante pour que deux droites situées dans l’espace soient parallèles, c’est que leurs projections, sur deux plans qui se coupent,' soient elles-mêmes parallèles; ainsi les projections de la droite demandée doivent être parallèles à AB et à A'B'; mais, parce que cette droite doit être tirée par le point (M, Al ), ses projections doivent passer par celles de ce point; nous les obtiendrons donc, en menant par Al et par M' des parallèles respectives AI E et Al' E' à A B et A'B'.
Actuellement, d’un point quelconque N' de AI E', abaissons sur la ligne de terre une perpendiculaire que nous prolongerons jusqu’à la rencontre de AIE, et le point (N, N'), ainsi déterminé, sera un point de notre parallèle. Il s’agira donc de trouver sa distance au point ( AI, AI' ), c’est-à-dire la longueur de la droite qui a pour projections AIN et AI'N'. Cette droite est le quatrième côté d’un trapèze formé par Al N et les verticales qui projettent ses extrémités sur le plan horizontal : or, il est clair qu’en faisant tourner ce trapèze autour de AIN, comme charnière, pour le rabattre sur le plan horizontal, scs angles Met N ne cesseront pas d’être droits, de sorte qu’on obtiendra son rabattement en élevant aux points Al et N des perpendiculaires Mrn= FM' et N/i = GN' (6), et, en joignant les points m et n. mn est donc la longueur demandée.
Il est clair que le prolongement de mn doit aller passer par la trace horizontale E de la droite (AIE, ME'). Cette remarque fournit une vérification de notre construction et donne le moyen de trouver l’inclinaison m AI d’ une droite donnée sur le plan horizontal. Il suffira, pour cela, de construire le rabattement horizontal d’un point de cette droite et de le joindre avec la trace
nno JiOTIOVS élémentaires
horizontale. Ou déterminerait d’une manière analogue l'inclinaison d’une droite sur le plan vertical.
On peut encore déterminer la longueur de la droite (MN, M'N') d c la manière suivante : supposons, en effet, que l’on fasse tourner le plan qui projette cette droite horizontalement, autour de la verticale du point (M,M'), jusqu’à ce (pic ce plan soit devenu parallèle au plan vertical. Le point N sera venu se placer sur la parallèle MI à LT, en décrivant un are de cercle, de sorte que le point (N, N') se projettera alors verticalement sur la perpendiculaire IK à LT ; mais il est clair que, dans ce mouvement, "ce point restera toujours à la meme hauteur, au-dessus du plan horizontal ; donc il se projettera aussi sur la parallèle N K. menée à LT par le point N', et, par conséquent, au point K. Ainsi, MK sera actuellement la projection verticale de la distance demandée; cette droite est donc égale à cette distance, puisque la droite (MN, M'N ) étant maintenant parallèle, au plan vertical est égale à sa projection sur ce plan.
Donc la distance des deux points et (N, N’)
est /'hypoténuse M' K d’un triangle rectangle M'K() dont la hauteur M O est la différence des hauteurs des deux points au-dessus du plan horizontal et dont la base KO est égide h sa distance MN des projections horizontales de ces deux points.
Problème III.
Fig. 3. I il. Par un point donné (A, A ), mener un plan parallèle à un autre plan donné par ses traces PQ et QR'.
Lorsque deux plans sont parallèles, leurs traces sur un troisième sont parallèles et réciproquement ; ainsi, les traces du plan cherché doivent être parallèles à PQ et à Q IV, de sorte qu’elles seront déterminées si on peut obtenir un point de l’une d’elles, puisqu’elles doivent d’ailleurs concourir sur la ligne de terre. Pour y parvenir, je remarque que si l’on mène par le point
(A, A') une parallèle à une droite quelconque située dans le plan P Q H', cette parallèle sera tracée dans le plan demandé (G.,4;>5); par conséquent, eu construisant ses traces, ou aura un point de chacune de celles du plan inconnu et on aura une vérification , en ce que les parallèles menées à PQ et à QR' par les points trouvés, devront aller concourir sur LT.
Mais au lieu de prendre la dmile auxiliaire parallèle à une droite quelconque tracée dans le plan PQH', il sera beaucoup plus simple de la mener parallèlement à l’une des traces de ce plan, à sa trace horizontale, par exemple, qui est connue. Kn oonséqtieuce, on tirera par le point A une parallèle à PQ , et par le point A' une parallèle à LT (14), car PQ est elle-même sa projection liorizontalc et a LT pour projection verticale (9) ; on construira ensuite (13) la trace verticale B de cette droite (AB,A'B'), et il ne restera plus qu’à mener par le point B' une parallèle M'N à H'Q, puis, par le point N une parallèle NM à PQ, et le problème sera résolu.
Si l’on vent se fournir une vérification de la construction précédente, il n’y aura qu’à chercher un point <lc la trace horizontale du plan demandé, ce qui se fera en tirant, par le point (A, A ), une parallèle à la trace verticale du plan donné, et ce point devra se trouver sur MN.
16. Si les traces PQ et P Q' du plan donné sont Fig, 4. parallèles à la ligne de terre, la construction précédente deviendra impossible, puisque la ligne auxiliaire sera aussi parallèle à LT et ne pourra pas en conséquence rencontrer les plans de projection. 11 faudra donc tirer par le point (A, A') une parallèle à une ligue quelconque tracée dans le plan donné; mais il sera encore plus simple de mener par le point ( A , A') un plan de profil, c’est-à-dire un plan perpendiculaire à la ligne de terre; ses traces OU et OH' formeront une perpendiculaire à LT (10), laquelle coupera les (races du plan donné aux points I’ et P . Par conséquent, l’intersection de ces deux plans sera la droite qui dans l’espace joindra
P avec P'. Cela posé, je rabats le plan auxiliaire sur le plan horizontal, en te faisant tourner autour de OH; la trace verticale OH' se rabattra sur OLet le point P' viendra, en décrivant un quart île cercle, se placer eu - P", de sorte que la trace du plan donné sur le plan de profil aura P P" pour rabattement. Mais le point (A, A ), emporté par le plan auxiliaire, aura décrit aussi un quart de cercle dont A est le centre, A O le rayon , et dont le plan rst perpendiculaire à OH, de sorte qu’il se sera rabattu eu A"; donc, si par ce point je tire une parallèle CD à PP , cette droite Cl) sera le rabattement d’une droite menée par le point (A, A') parallèlement à une droite situéejdans le plan donné. Or, quand on ramènera le plan de profil à sa position primitive, le point D, qui se trouve sur l’axe de rotation, ne variera pas ; le point C décrira le quadran C D ; donc la parallèle menée par le point (A, A ) à la droite qui dans l’espace joint Pet P' perce les plans de projection en 1) et en D' : donc les traces du plan demandé sont les parallèles DS et PS' à la ligne de terre.
Problème IV.
Fig. 5. |7, Faire passer un plan par trois points don-
nes (A, A'), (B, B ) et (C,C').
Joignez les trois points donnés deux à deux par des lignes droites qui seront évidemment tout entières dans le plan inconnu, de sorte qu’en construisant les traces horizontales D,E,F, et les traces verticales D',E\ F' de ces droites (13), vous aurez trois points de chacune des traces du plan cherché, et, par conséquent, elles seront plus que déterminées. Vous joindrez donc D et F, D' et F' par deux droites qui résoudront le problème, et vous aurez trois vérifications, puisqu’elles devront passer respectivement par E et par E', et aller concourir sur LT.
Il sera également facile de faire passer un plan par un point et une droite donnés, car il n’y aura qu’à prendre deux points sur cette droite, par exemple, ses deux traces pour revenir au problème précédent.
Problème V.
18. Construire V intersection des deux plans don- Fig. 6. nés par leurs traces PQ et Q H', PS et Sll'.
Le point P, où se croisent les traces horizontales des deux plans, est évidemment le point où leur commune intersection perce le plan horizontal ; de même le point K' est la trace verticale de cette droite : mais le point P a pour projection verticale le pied A' de la perpendiculaire P A' à la ligne de terre; le point R' a, pour projection horizontale, le point B de cette même ligne; donc, en tirant les droites R A' et PB, on aura les projections verticale et horizontale de l’intersection demandée.
Ainsi , pour construire la projection horizontale de V intersection de deux plans , abaissez une perpendiculaire sur la ligne de terre, du point ou se croisent leurs traces verticales, et joignez le pied de cette perpendiculaire avec le point ou leurs traces horizontales se rencontrent. Cous déterminerez ta projection verticale de cette intersection par une construction analogue.
19. Si les traces des plans donnés PQP' et R S R' Fig. 7. ne peuvent pas se couper dans les limites de l’épure,
la règle que nous venons de donner sera inapplicable.
Dans ce cas, on mènera un plan auxiliaire parallèlement à l’un des plans de projection, au plan vertical par exemple, et il est clair que ses traces, sur les plans donnés, se croiseront sur leur intersection, de sorte qu’en construisant ces traces, on obtiendra un point de cette intersection. Soit donc AB la trace horizontale de notre plan auxiliaire : les droites suivant lesquelles il coupera PQP' et R SR' seront des parallèles à QP' et à SR', issues respectivement de A et de B; donc elles auront C'F'et DF' pour projections verticales.
Donc, si de F 1 ' on abaisse sur LT une perpendiculaire que l’on prolongera jusqu'à la rencontre de AB, on aura un point (F, F') de l’intersection demandée, et en répé-
39* NOTIONS Kl. ÉMENT AIRES
tant cette construction, on en obtiendra un second point, ce qui achèvera de le déterminer.
F 'g. 6. 20. Supposons que le plan R S R' se meuve de telle
manière que sa trace verticale restant fixe, sa trace horizontale tende à devenir parallèle à celle du plan PQP', les points I* et A' s’éloigneront ainsi indéfiniment des points respectifs B et R', en décrivant les droites QPct LT, de sorte que, à la limite, PB et R A' seront devenues parallèles, l’une aux deux traces horizontales, et l’autre à la ligne de terre. Et, en effet, dans l’hypothèse actuelle, les deux plans étant conduits suivant deux parallèles Q P et U S, leur intersection leur est parallèle(G., 444); par conséquent ses projections BC et R'C' sont parallèles à celles de ces droites, c’cst-«à-dirc à ces mêmes droites et à la ligne de terre.
Observons toutefois que si les traces horizontales des deux plans donnés étaient perpendiculaires à la ligne de terre, la projection verticale de leur intersection se réduirait au point R' (G., 481).
21. Si les traces horizontales et verticales des deux plans donnés étaient parallèles, la construction que nous avons donnéc(18) deviendrait impossible, mais aussi les deux plans seraient parallèles, et par conséquent il n’y aurait plus d’intersection. Il y a toutefois un cas où cette construction ne pourrait pas s’effectuer, bien que les
F>b'- 8. deux plans se coupent, c’est celui où leurs traces PQ et P'Q', RS et R' S', seraient toutes quatre parallèles à la ligne de terre. Alors leur intersection sera aussi parallèle. h LT, ainsi que ses projections; de sorte qu’il suffira, pour les déterminer, de trouver un point de chacune d’elles. Or, si l’on mène un plan de profil (1 fî ) MOM', scs intersections avec les plans donnés seront les droites qui, dans l’espace, joindront P et P', l> et B'. Cela posé, rabattons le plan MOM' sur le plan horizontal , en le faisant tourner autour de OM, sa trace verticale OM' se rabattra sur O L, et les points P' et B' de cette droite viendront se placer en P" et en R", de sorte que les traces des plans donnés sur le
1>K GÉOMÉTRIE! UESCRIPTIVE. 395
profil auront pour rabattements PP" et R R", et par conséquent le point A", oit elles se croisent, est le rabattement du point où l’intersection des deux plans donnés perce le plan MOM'. Si donc on abaisse A"A perpendiculairement sur ÜM et qu’on ramène le plan auxiliaire à sa position primitive, ce point A" décrira un quart de cercle dont A sera le centre et A"A le rayon , et ainsi se projettera horizontalement en A et verticalement sur OM' à une distance de ü égale à A"A. Les parallèles AB et A' B' menées à la ligne de terre par A et par A' résoudront le problème.
Remarquons qu’au lieu de prendre le plan auxiliaire perpendiculaire à la ligne de terre, on aurait pu l’assujettir à la seule condition de couper les deux plans donnés, mais les constructions auraient été beaucoup moins simples.
22. Enfin il peut arriver que les traces CPet CP', CR Fig. 9. et CR' des deux plans rencontrent la ligne de terre au même point C. Coupez encore les plans donnés par un plan de profil que vous rabattrez ensuite sur le plan horizontal, en le faisant tourner autour de sa trace sur ce plan; vous obtiendrez ainsi les rabattements PP" et RK" des traces des plans donnés sur le profil, de sorte qu’en ramenant celui-ci à sa position primitive, le point A" où elles se coupent sera projeté en A et en A'.
Mais les projections de l’intersection doivent évidemment passer par le point C; donc ces projections sont CA et CA'.
Problème VI.
23 Construire le point d’intersection d'une droite Fig. io. (AB, A'B) avec un plan donné PQR'.
Si , par la droite donnée, nous conduisons un plan quelconque, il est clair que le point oii elle percera le plan PQR' appartiendra à la trace de.ee plan auxiliaire sur le plan donné , et qu’en conséquence les projections du point demandé se trouveront à la fois sur les projections de cette trace et sur celles de la
droite* donner , de sorte qu’elles seront ainsi déterminées. La première chose à faire est donc de mener un plan par la droite (AB, A'B).
Pour plus de simplicité dans les constructions, nous prendrons pour plau auxiliaire celui même qui projette celte droite horizontalement; AB sera donc sa trace horizontale, et BB’, perpendiculaire élevée à LT par le point B', sera sa trace verticale (G., 481). On construira la projection verticale R'D' de l’intersection des deux plans PQR' et A B R' (18), et le point M', oîi elle rencontrera A'B', sera la projection verticale du point d’intersection de la droite (AB, A'B ) avec le plan PQR', de sorte qu’en abaissant de M' la perpendiculaire M'M sur LT on déterminera la projection horizontale M de ce même point.
On obtiendra une vérification si l’on prend pour plan auxiliaire le plau qui projette (AB, A'B') verticalement , parce que la projection horizontale de la trace de ce plau sur PQR' devra passer par le point M.
Remarquons que, dans notre ligure, la partie (MA, M'A') de la droite (AB, A'B ) est tout entière audessus du plan PQR', et par conséquent est visible, tandis que la partie (MB, M'B') de la même droite est invisible, parce qu’elle est au-dessous de ce plan: voici pourquoi l’une est figurée par un trait plein , et que l’autre est ponctuée.
Fig. 11. 24. Si la droite donnée (A, A'B ) est perpendicu-
laire à l’un des plans de projection , au plan horizontal par exemple, la trace horizontale du plan auxiliaire ne sera assujettie qu’à la seule condition de passer par le point A , et ce qu’il y aura de - mieux à faire sera de la diriger parallèlement à la trace horizontale du plan donné; soient donc AC et CC' les traces de ce pian : la projection verticale de son intersection avec PQR' sera la parallèle C'M' à la ligne de terre (20), de sorte que A et M' sont les deux projections du point cherché.
2i>. Il est bon de remarquer que cette construction
DE GÉOMÉTIME DESCRIPTIVE. 397
donne la solution de ce problème : Etant donnée l'une des projections d'un point appartenant h un plan, trouver l'autre projection de ce point. Ou voit, en effet, que le point du plan PQR', qui sc projette horizontalement eu A, est l’intersection même de ce plan avec la verticale menée par le point A.
26 Si la droite donnée était parallèle à la ligne Fig. 12. de terre, on construirait encore la projection verticale de la droite suivant laquelle le plan PQR' est coupé par le plan qui la projette horizontalement (16).
27. Si le plan donné est perpendiculaire à la ligne de terre, ses traces formeront une perpendiculaire à LT, et les points où cette perpendiculaire rencontrera les projections de (AB, A'B') seront la réponse à la question.
28. Si l’on veut résoudre le problème du n°23,Fig. 13. en employant un plan auxiliaire quelconque, on observera que ses traces n’étant assujetties qu’à la seule condition de passer par les traces horizontale et verticale C et C' de la droite (AB, A'B), on tirera par le point C une droite quelconque OC P, et en joignant
le point C' avec le point oit cette droite rencontre LT, on aura les traces d’un plan P O R', qui contiendra la droite donnée, puisqu’elle aura deux points dans ce plan. On construira donc l’intersection (PD, R D'j de ce plan avec le plan PQR , et le point (M, SI') commun à celte droite et a (AB, A'B') résoudra le problème. La droite MM' devra être perpendiculaire à LT, ce qui fournit une vérification.
Problème VU.
29. D'un point donné (A, A') abaisser une per- Fig. 14. pendiculaire sur un plan donné P Q R' et livuver la longueur de celte perpendiculaire.
Nous avons vu (G., 482 cl 4113) que la condition nécessaire et suffisante pour qu’une droite soit perpendiculaire à un plan , c’est que ses projections sur deux plans qui sc coupent, soient perpendiculaires aux traces
398 NOTIONS ÉLÉMKMMHES
du plan donné sur ces plans; ainsi les projections de la droite demandée doivent être perpendiculaires à PQ et à QR'; mais, parce que celle droite doit être tirée par le point (A, A'), ses projections doivent passer par celles de ce point : nous les obtiendrons donc en menant par A et par A' les perpendiculaires respectives AI? et A'R' sur PQ et sur QR'.
Pour trouver ensuite la longueur de la partie de cette perpendiculaire comprise entre le point (A, A ) et le plan PQR', il n’y aura qu’à chercher (23) l’intersection (M, M') de la droite (AB, A'B') avec ce plan , et la question sera ramenée à trouver la distance des deux points (A, A') et (M, M'). Eu conséquence , on mènera par le point M' une parallèle à la ligne de terre, ou prendra sur celte droite, à partir de AA', une distance CM = AM, et en joignant A'M' on aura la lougueur demandée (14).
Fig. 15, 30. Supposons que les traces PQ, P'Q' du plan
donné soient parallèles à la ligne de terre, on mènera par le point (A, A'), un- plan de profil que l’on rabattra ensuite sur le plan horizontal ; la trace du plan de profil sur le plan donné et le point (A, A') auront ainsi pour rabattements la droite PP" et le point*/ (16), de sorte qu’en abaissant de ce point a la perpendiculaire uni sur cette droite, on aura la longueur de la perpendiculaire demandée. Pour obtenir la projection du pied de cette droite , on ramènera le plan auxiliaire à sa position primitive. Dans ce mouvement, le point m décrira un quadran dont le rayon sera la perpendiculaire isM abaissée de m sur l’axe de rotation, de sorte que le pied de notre perpendiculaire se projettera horizontalement en M et verticalement en M' à une distance de la ligne de terre égale à m M.
Phobloie VIII.
Fig. 16. 31 . D’un point donné (C , G ) abaisser une perpen-
diculaire sur une droite donnée (AB, A'B ) et trouver la longueur de cette perpendiculaire.
DK GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.
Si par le point donné on mène un plan perpendiculaire à la droite donnée (AB, A'B) et quon joigne le point d’intersection de ce plan et de cette droite avec le point (C , C') , on aura évidemment résolu la première partie de la question , et la seconde ne présentera aucune difficulté ( 14 ).
Il s’agit donc de mener par un point donné (C, C) un plan perpendiculaire a une droite donnée (AB,
Les traces du plan inconnu doivent être perpendiculaires aux projections de la droite donnée (G., 482) : d’où l’on voit qu’elles seront déterminées si l’on peut obtenir un point de l’une d’elles, puisqu’elles doivent d’ailleurs concourir sur la ligne de terre. Pour y parvenir, je remarque «pie si l’on mène par le point (C, C) une parallèle à la trace horizcmtale du plan demandé , cette droite sera située dans ce plan, de sorte qu’en construisant le point où elle percera le plan vertical , on aura un point de la trace verticale du plan cherché.
Or, les projections de cette droite auxiliaire doivent être parallèles à celles de la trace horizontale de notre plan, donc en menant par C une perpendiculaire CD à AB et par C' une parallèle C D' à la ligne de terre, ou aura ces projections. On cherchera donc la trace verticale de (CD, CD) et en tirant ensuite R'D Q et PQ perpendiculairement à A'B 7 et à AB, ou aura les traces du plan demandé. 11 ne restera donc plus qu’à construire l’intersection (AI, M') de la droite (AB,
A'B ) avec le plan PQR', à joindre cette intersection avec le point (C, C') et à trouver la distance de ces deux points.
32 . Si la droite donnée (A, A B') est perpendieu- Fig. 17. laire au plan horizontal, le plan qui lui sera mené perpendiculairement par le point (C, C') sera horizontal et sera par conséquent déterminé par sa trace verticale CIO), laquelle passera par C', puisqu’elle est le lieu des projections verticales de tous les points du plan; donc (A,M ) sera le point d’intersection du
plan auxiliaire avec la perpendiculaire demandée; CA et C'M' seront donc les projections de cette droite et CA en sera la longueur.
Fig. 18. 33. Si la droite donnée (AB, A'B') est parallèle à
la ligne de terre, les traces du plan auxiliaire se confondront avec la droite qui joint les projections du point (C, C ), de sorte que CM et C'M' seront les projections de la perpendiculaire demandée ; on prendra doue M'M"=CM, et en joignant C'M" on aura la longueur de cette perpendiculaire.
34. On peut résoudre le problème du n° 31 par la méthode dite des rabattements , dont nous avons déjà donne quelques applications et avec laquelle il est important de se familiariser.
Fig. 19. Par le point (C, C') et la droite (AB, A'B) conduisons un plan DQA, ce qui se fera en joignant ce point à la trace horizontale (A , A ) de la droite donnée, puis en tirant une première droite D'B'Q par les traces verticales de (AC, A'C) et de (AB, A'B'), et une seconde par les points Q et A. Il est clair alors que, en rabattant ce plan sur le plan horizontal, avec la droite (AB, A'B'j-et le point (C, C), il n’y aura plus aucune difficulté pour abaisser de ce point une perpendiculaire sur celte droite. Or, quand le plan D'QA tournera autour de sa trace horizontale QR, le point B décrira un arc de cercle dont le plan sera perpendiculaire à cette trace, de sorte que ce point viendra se rabattre sur la perpendiculaire abaissée de B sur AQ. Mais comme le point Q restera immobile, sa distance au point B' no variera pas; donc ce point B' se rabattra au point/;, où la perpendiculaire indéfinie BEcst coupée par l’arc décrit de Q comme centre avec QB' pour rayon; donc le rabattement de la droite donnée est A b, puisqu’elle n’a fait que tourner autour de A. Si ou prend sur O/; une distance Qr/ = QI) , et qu’on joigne A d, on aura de même le rabattement de la droite (Al), A'D), de sorte qu’en abaissant du point C*unc perpendiculaire sur l’axe de rotation AQ,
le point c où elle coupera A d sera le rabattement du point donné (C, C'). Par conséquent , en abaissant cm perpendiculairement sur A b, on aura la longueur tle la perpendiculaire demandée.
Actuellement, pour déterminer la projection de cette perpendiculaire nous ramènerons le plan AQD' à sa position primitive. Dans ce mouvement, le point m décrira un arc de cercle dont le plan sera perpendiculaire à l’axe de rotation AQ, de sorte que, quand il sera revenu à sa position primitive, il se projettera horizontalement sur l’intersection M de Alî avec la perpendiculaire abaissée de m sur AQ. On aura donc la projection verticale M' de ce point en tirant la perpendiculaire MM' à la ligne de terre.
53. Remarquons que la solution que nous venons de donner du problème VIII renferme celle de cet autre problème, trouver l’angle formé parles traces d’un ' plan B' Q A , car cet angle est égal à b Q A . Ainsi , pour résoudre ce problème, il faut rabattre le plan donné, en le faisant tourner autour de sa trace horizontale, par exemple, construire le rabattement d’un point quelconque de la trace verticale, et joindre ce rabattement avec le point de la ligne de terre où se joignent les deux traces.
Problème IX.
36. Construire les angles rectilignes correspon-V ig. 20. riants aux angles dièdres qu’un plan donné PQR' forme avec les plans de projection.
Il est clair que si nous menons un plan perpendiculaire à PQ l’angle que formeront ses traces sur le plan horizontal et sur le plan donne, sera l’angle rectiligne correspondant à l’angle dièdre de ces deux plans. T,a trace horizontale de notre plan auxiliaire est une perpendiculaire AO menée à PQ par un point quelconque de cette droite (G., 462), et sa trace verticale sera la perpendiculaire A'O élevée au point O sur la ligno de terre.
Donc, la droite, qui dans l’espace joindra les poiuts A
et A' sera la trace de notre plan auxiliaire sur PQK'. Cette droite est donc l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont OA et OA' sont les deux autres côtés. Pour construire ce triangle, il n’y aura qu’à le rabattre sur le plan vertical, en le faisant tourner autour de OA'; le point A décrira l’arc AA", et en joignant A' A" on obtiendra l’angle demandé A'A"0.
Ou aurait construit le rabattement de notre triangle sur le plan horizontal, en élevant sur AO la perpendiculaire OA'" = OA' et en joignant A'" A.
On construira semblablement l’inclinaison OBA ou OB'A ,v du plan PQR' sur le plan vertical.
Si les traces du plan donné étaient parallèles à la ligne de terre, Te plan auxiliaire deviendrait un plan de profil, et les angles demandés seraient ceux du triangle formé par les traces de ce plan sur le plan donné et sur les plans de projection.
Problème X.
Fig. 21. 37. Construire l’angle rectiligne correspondant h
l'angle dièdre formé par deux plans donnés PQR' et PS R'.
Si nous menons un plan perpendiculaire à l’intersection des deux plans donnés, ses traces sur ces plans et sur le plan horizontal formeront un triangle, dans lequel l’angle opposé au côté horizontal sera l’angle rectiligne correspondant à l’angle dièdre cherché. Or, la trace horizontale de notre pian auxiliaire doit être perpendiculaire à la projection horizontale de l’intersection des deux plans PQR' et PS R' : uous construirons donc cette projection PA, et la perpendiculaire BC menée, à cette droite, par l’un quelconque de ses points, pourra être considérée comme la base de notre triangle. Son sommet, qui est un point de l’intersection des plans PQR' et P S R', se projette sur AP, d’où il suit que si on le joint au point D, la droite ainsi tracée sera la hauteur de notre triangle (G., 439). Si donc nous pouvons
déterminer cette hauteur, il n’y aura qu’à la porter sur DP, à partir du point D, pour avoir le rabattement du sommet, car, dans le mouvement de rotation du plan auxiliaire autour de sa trace horizontale BC, ce point décrira un arc de cercle qui a le point D pour centre et dont le plan est perpendiculaire à BC. Or, la hauteur de notre triangle est la perpendiculaire abaissée du point D sur la droite qui, dans l’espace, oint les points P et K', puisque cette droite, intersection des deux plans, est perpendiculaire au plan de ce triangle.
Mais cette droite est aussi l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont les deux autres côtés sont PA et AK'; en conséquence, je rabats ce triangle sur le plan vertical, en le faisant tourner autour de K A ; les points P et D viennent ainsi se placer en P' et en D', de sorte qu’en menant D'D" perpendiculairement à K' P' j’aurai la hauteur cherchée. Je prendrai doncDE = D D“, et, en joignant EB et EC, je formerai l’angle demandé AEC.
Si les traces horizontales des plans donnés sont parallèles, il n’y aura rien de changé à la construction précédente , sinon que l’hypoténuse 11' P deviendra infinie, c’est-à-dire parallèle à la ligne de terre, de sorte que la hauteur de notre triangle sera R'A.
Si les traces PQ et P'Q', RS et R'S' des deux plans Fig. 8. sont parallèles à la ligne de terre, le plan auxiliaire deviendra un plan de profil MOM'; on le rabattra donc sur le plan horizontal, et l’angle PA' R, formé par les rabattements PP" et RR" de ses traces sur les deux plans donnés, sera l’angle demandé (21).
5tt. Si l’on veut mener un plan qui partage en deux Fig. 21. parties égales l'angle dièdre formé par les plans PQR' et PSR', on remarquera que la trace de ce plan bissecteur sur le plan auxiliaire doit partager l’angle que nous venons de construire en deux parties égales; donc la bissectrice de l’angle B EC sera le rabattement de la trace dont il s’agit, de sorte que le plan demandé doit passer par le point F, car lorsque l’on ramènera le plan
404 NOTIONS ÉLÉMENT A IHES
auxiliaire à sa position primitive, la droite EF tournera autour de ec point F ; d’un autre côte, ce plan doit aussi passer par le point P; donc PFG est sa trace horizontale, et par conséquent R'G est sa trace verticale.
Problème XL
Fig. 22. 39. Construire C angle de deux droites données.
Nous avons vu (G., 469) que lorsque deux droites ne se rencontraient pas, on mesurait leur inclinaison mutuelle par l’angle formé par l’une d’elles avec une parallèle menée par un de scs points à l’autre : nous pourrons donc supposer que l’on ait effectué cette construction ('), et nous proposer en conséquence de trouver l’angle formé par les deux droites ( A 13, A' B ) et (BC, B'C') qui se coupent au point (B, B'). Si l’on joint les traces horizontales A et C de ces deux droites, on formera un triangle dont AC sera la hase et dont l’angle au sommet (B, B') sera l’angle cherché. Si donc on abaisse la perpendiculaire BD sur sa base, et qu’on joigne le point D avec le sommet, on aura la hauteur de ce triangle (G., 439); de sorte que si on rabat le plan de ce triangle sur le plan horizontal, en le faisant tourner autour de AC, son sommet viendra se placer sur DB, à une distance de D égale à cette hauteur; car il décrira un arc de cercle qui aura pour centre le point D et dont le plan sera perpendiculaire à AC. Mais cette droite est l’hypoténuse d’un triangle rectangle dont BD est la base ctB'E la hauteur: ainsi nous la déterminerons en prenant sur la ligne de terre une distance E F = B D et en joignant B’F. Il ne s’agira donc plus que de porter B'F’ de D en b sur DB et de tirer b A et b C. L’angle AbC résoudra le problème.
