MOTIONS ÉLÉMENT AIRES DE GÉOMÉTRIE, ETC
DE
1. La géométrie descriptive a deux objets : le premier (le donner des méthodes pour représenter sur une feuille de dessin , qui n’a que deux dimensions, savoir, longueur et largeur, tous les corps susceptibles d'être definis rigoureusement.
Le deuxieme objet est de donner les moyens de reconnaître , d’après une exacte description graphique, les formes des corps, et d’en déduire toutes les vérités qui résultent et de leur forme et de leurs positions respectives.
C’est par la méthode des projections que l’on est parvenu à atteindre ce double but.
2. Un point, une droite ou une courbe sont déterminés cle position dans l’espace lorsque l’on connaît les projections de ce point ( G. , 446 ) , de celle droite ou de cette courbe (G. , 447 ) sur deux plans
qui se coupent. Soient, en effet, A et A' les projec-pjg, i, tions d’un certain point sur les deux fixes LTH et LTV : si par le point A nous élevons une perpendiculaire au plan LTH, cette droite sera le lieu de tous les points qui se projettent en A sur ce plan (G., 434), donc elle passera par le point dont il s’agit. Par une raison semblable, ce point devra se trouver sur la perpendiculaire élevée par le point A' sur le plan LTV, donc il se trouvera au point a où ces deux perpendiculaires se rencontrent. Ainsi sa position est complètement déterminée.
38i NOTIONS ÉLÉMENTAIRES
Soient maintenant AB et A'B' les projections d’une même droite (G., 448) sur les deux plans LTII et LTV; si par la première ou conduit un plan perpendiculaire à LTH, ce plan sera le lieu de toutes les droites qui ont AB pour projection sur LTH, donc il passera par la droite dont il s’agit ; par une raison semblable, cette droite devra se trouver sur le plan clevé perpendiculairement à LTV, par la droite A'B'; donc elle se trouvera à l’intersection ab de ces deux plans. Ainsi sa position est entièrement déterminée.
Enfin soient PQR et P'Q'lt' les projections d’une même courbe. On construira deux surfaces cylindriques qui aient pour directrices les courbes PQR et P'Q'R', et dont les génératrices soient respectivement perpendiculaires aux plans LTH et LT V : il est clair que la courbe inconnue devra se trouver sur chacune de ces deux surfaces, et par conséquent elle sera précisément leur intersection pqr. Donc sa forme et sa position dans l’espace sont complètement déterminées.
3. L’angle que font entre eux les plans de projection est tout à fait arbitraire : cependant les artistes qui font usage de la méthode des projections ont jugé plus commode de prendre les plans de projection perpendiculaires entre eux, et, à cause de la grande habitude qu’ils ont du niveau et du fil à plomb, ils ont coutume de supposer que l’un de ces deux plans soit horizontal et que l’autre soit vertical ; en conséquence, leur intersection LT se nomme la ligne de terre.
4. D’après cette convention, que nous adopterons, quand nous dirons désormais qu’un point ou une ligne sont donnés, nous entendrons que leurs projections horizontale et verticale, c’est-à-dire leurs projections sur un plan horizontal et sur un plan vertical fixés d’avance, sont connues.
3. Maintenant que nous savons déterminer la position d’un point ou d’une ligne dans l’espace, il convient d’indiquer le moyen de représenter ce point ou celle ligne sur une feuille de dessin. Pour y parvenir,
UK GÉUM ÉTKIK UKSCKimVË. 385
on suppose que le plan vertical LTV ail tourne autour de la ligne de terre LT, comme charnière, pour se rabattre sur le plan horizontal et ne former avec lui qu'un seul et même plan HV'.
La partie de la feuille de dessin située au-dessus de la ligne de terre LT représentera à la fois la portion supérieure du plan vertical et la portion postérieure du plan horizontal , tandis que la partie de cette feuille située au-dessous de LT représentera la portion antérieure du plan horizontal et la portion inférieure du plan vertical. Ainsi toutes les constructions, qui devraient être exécutées sur les deux plans de projection , se feront sur une seule feuille de dessin, et pour avoir les projections horizontales et verticales des points et des lignes situés dans l’espace, dans leur véritable position , il n’y aura qu’à relever le plan vertical , en lui faisant faire un quart de révolution autour de la ligne de terre LT.
6. Il suit immédiatement de la convention qui précède que les projections horizontale et verticale de l oui point de l'espace seront toujours figurées sur une meme perpendiculaire h la ligne de terre. Considérons, en effet, les deux plans de projection dans leur véritable position rectangulaire, le plan déterminé par les perpendiculaires «A et «A', abaissées du point a sur ces deux plans, sera perpendiculaire à la ligne de terre et par conséquent les coupera suivant deux perpendiculaires AO et A'O à cette ligne. Or, la seconde ne cessera pas d’être perpendiculaire à LT pendant le mouvement de rotation du plan LTV; donc, après le rabattement de ce plan sur LT H , la droite A'O sera devenue le prolongement même O A". de AO; donc les deux projections horizontale et verticale A et A“ du point a se trouveront alors sur une même perpendiculaire a la ligne de terre, et on voit déplus que leurs distances AO et A 'O a cette ligne sont égales aux distances de ce même point au plan vertical et au plan horizontal.
7- Il est important de remarquer que deux points A et A" situés sur une même perpendiculaire à la ligne de terre , sont nécessairement les projections d’un point déterminé de l’espace, car si on relève le plan vertical et que par chacun des deux poiuts donnes on mène une perpendiculaire au plan sur lequel il se trouve, ces perpendiculaires seront tout entières dans le plan A'O A perpendiculaire aux plans de projection, et par conséquent elles se rencontreront.
II. De même deux droites qui, tracées sur les plans de projection , ne sont pas perpendiculaires a la ligne de terre , sont nécessairement les projections d’une droite dont la position dans l’espace est déterminée. Mais si cés droites sont perpendiculaires à la ligue de terre et au même point, elles seront les projections de toutes les droites situées dans le plan mené par l’une d’elles perpendiculairement à LT, et par conséquent elles ne suffiront plus pour déterminer une droite.
9. Observons encore que tous les points et toutes les lignes situés sur l’un des plans de projection se projettent sur l’autre plan , suivant la ligne de terre (G., 479).
10. Nous déterminerons la position d’un plan en nous dounant ses deux traces sur les plans de projection (G., 19). Ces traces se croiseront nécessairement sur la ligne de terre, mais l’angle qu’elles formeront après le rabattement du plan vertical sera tout à fait différent, de celui qu’elles forment dans l’espace.
Si le plan est perpendiculaire aux plans de projection, ses traces formeront une seule ligne droite perpendiculaire à la ligne de terre (G., 4151).
S’il est parallèle à l’un des plans de projection, sa trace sur l’autre est parallèle à la ligue de terre (G.,4ol) et suffit pour le déterminer.
S’il est parallèle à la ligue de terre, ses deux traces sont parallèles à cette droite.
H. Nous conviendrons de noter par des lettres sans
qccent les projections horizontales d'un point ou tl’unc droite, et par tles lettres accentuées les projections verticales ; de plus, pour désigner un point a de l’espace, nous écrirons entre parenthèses les deux lettres qui correspondent à ses projections ; de sorte que (A, A') désigne le point a de l’espace qui a A et A' pour projection horizontale et pour projection vcrliticalc. Par analogie, on écrira (AH, A H ) pour indiquer la droite ab de l’espace qui a AB et A'B' pour projections horizontale et verticale.
12 On est convenu de représenter par un trait plein et continu les données et les inconnues d’un problème, lorsqu’elles seront visibles ; mais si ces lignes sont invisibles y elles seront ponctuées , c’est-à-dire tracées en points ronds.
On suppose l’observateur plaeé au-dessus du plan horizontal et en avant du plan vertical , et à une distance infinie de ces plans; alors les rayons visuels, menés de son œil aux projections d’un objet, peuvent être regardés comme étant perpendiculaires aux plans où ces projections sont tracées, de sorte que ces rayons visuels coïncident avec les droites par lesquelles on projette les différents points de cet objet. Si donc une ligne est située au-dessous du plan horizontal ou derrière le plan vertical , ou devra la regarder comme invisible, et partant la potfCTUF.it. üc même, si une ligne se trouve cachée au spectateur par une surface qui fait partie des données de la question, cette ligne sera encore figurée en points itosrus.
Au contraire, toutes les lignes de construction , c’est-à-dire celles que l’on tracera pour parvenir à la détermination des inconnues d’un problème seront pointiu.ées, c’est-à-dire formées de très-petits traits , qu'elles soient visibles ou non.
Problème I.
