Réduire un angle h l’horizon

Dans l’arpentage, on a son veut à construire la projection horizontale de l’angle formé par deux droites inclinées sur l’horizon, c’est ce que l’on appelle réduire un angle îi l’horizon. Or, si l’on imagine par leur point de concours une verticale, et que l’on mesure les angles qu’elle forme avec chacune des deux droites dont il s’agit, on aura les trois faces d’un trièdre dont l’angle dièdre, qui a pour arête la verticale, a pour angle rectiligne correspondant la projection horizontale de la face opposée, c’est-à-dire de l’angle proposé. 11 sera donc facile d’obtenir celte projection (46b

On réduit encore un angle à l’horizon de la manière suivante, qui est fort simple :

Supposez que SC représente la verticale et SA ctKig. 29. SB les deux côtés de l’angle à réduire à l’horizon ; tracez les trois angles B' SC, CSA, AS B", respectivement égaux aux trois angles observés, et menez la perpendiculaire indéfinie LT à SC; vous pourrez la regarder comme la trace d’un plan horizontal sur celui de la face verticale CSA. Or, dans le mouvement de rotation des deux faces autour des charnières SC et SA, les distances des points S , C et A de ces charnières à la trace B de la troisième arête sur ce plan n’ont pas varié; donc, S B' et B'C sont ces deux premières distances; et si, ayant pris SB"=SB', on joint AB", cette droite sera la troisième, car le triangle A S B" est évidemment égal au triangle A SB (G., Iiî9). Si donc on décrit des centres C et A les arcs B B et B" B, le triangle A CB sera égal au triangle fonné par les traces des faces du trièdre S sur le plan horizontal (G., 167); de sorte que l’angle B'C B sera égal à la projection horizontale de l’angle observé AS B, et, par conséquent, sera cet angle réduit a l’horizon.

Si l’une des deux droites, SA par exemple, est ho-lïg. 30. rizontalc, la construction précédente deviendra im-

possible. Faites encore les angles CSB', CSA et ASB" égaux respectivement aux trois angles observés, menez toujours le plan horizontal LT, et la trace horizontale tic la droite SB sera encore sur l’arc dont le rayon est CB'. Cela posé , concevez tjue du point B , où l’autre côté de l’angle à réduire perce le plan horizontal LT, on ait abaissé une perpendiculaire sur SA, et vous formerez un triangle rectangle que vous construirez en prenant SB" = SB et menant la verticale B A. Mais si vous ramenez ce triangle à sa position primitive, eu le faisant tourner autour de SA, le point B" viendra se placer sur le prolongement de la verticale B" A , et par conséquent au point B, où elle rencontre l’arc B B' : donc l'angle demandé est B'CB.

Problème XVI.

Fig. 31. 80. Mener un plan tangent a une surface conique,

par un point donné sur cette surface.

Nous déterminerons la surface couique proposée en nous donnant sa trace horizontale ACBD, que nous supposerons ici être une circonférence de cercle, et les projections S et S' de son centre. Cette surface sera ainsi complètement déterminée, car nous pourrons construire telle génératrice que nous voudrons, puisqu’il suffira, pour cela, de joindre le sommet avec un poiut quelconque de la courbe ACBD.

Cela posé, si nous menons du point S deux tangentes SA et SB à la circonférence ACBD, et que nous concevions deux plans par ces droites et par le sommet du cône, ces plans seront tangents à la surface conique, puisque d’ailleurs ils contiendront respectivement les génératrices qui passent par A et par B (G., 827); mais ils sont verticaux, donc les tangentes SA et SB seront les limites de la projection horizontale de la surface conique; car il est évident que toutes les génératrices doivent se projeter entre ces deux lignes (*).

(■)Il suit de là que pour un spectateur situé à une distance

On verra de la meme manière que si nous menons à la circonférence AC BD deux tangentes qui soient perpendiculaires à la ligne de terre, les projections verticales S'C' et S' D' des génératrices correspondantes aux points C et D seront les limites de la projection verticale de la surface conique (').

Supposons que le point par lequel le plan tangent doit être mené soit donné par sa projection horizontale M ; il s’agira de trouver la projection verticale de ce point. Or la génératrice sur laquelle il est situé se projette horizontalement suivant SM, donc la trace de cette génératrice est le point E ou le point F, donc il appartient à la génératrice qui a pour projection verticale S'E' ou S' F'; donc sa projection verticale est le point M' ou le point M" (6). Ainsi il y a deux points ( M, M') et (M, M"), qui se projettent horizontalement en M.

Proposons-nous de mener le plan tangent par le premier de ces points. Sa trace horizontale sera îa tangente PQ à la circonférence AC BD, et comme ce plan doit contenir la génératrice (SE, S'E'), sa trace verticale sera déterminée, eu joignant le point Q au poiut (G, G'), où cette génératrice perce le plan vertical.

Si le point (G, G') sort des limites de l’épure, on mènera par le point (M, M') une parallèle (Ml, M' T) à la trace horizontale du plan langent, et en joignant le point Q au point 1' on aura la trace verticale de ce plan, car il doit contenir notre droite auxiliaire. Si le point (G, G') se trouve dans les limites de l’épure, la construction précédente fournira une vérification du tracé du pian tangent.

infinie au-dessus du plan horizontal, Ips génératrices qui aboutissent sur la partie B CA (le la circonférence sont seules visibles.

C) Ainsi les génératrices qui aboutiront & la demi-circonfércurc CBD seront invisibles pour un spectateur placé à une distance infinie du plan vertical.

Ou construira semblablement le plan tangent au point (M, M" ) , et comme les plans PQK et P'Q'R' renferment cbacun une génératrice, ils passeront par le point (S, S'), de sorte que les projections de leur intersection devront passer l’une par S et l’autre par S', ce qui fournira une vérification de toutes les constructions.

Problème XVII.

a 1 . Mener un plan langent à une surface conique, par un point donné hors de celle surface.

Iæ plan demandé devant contenir une génératrice , passera nécessairement par le centre de la surface conique : donc les traces de la droite qui joindra ce centre avec le point donné appartiendront aux deux traces de notre plan tangent; mais sa trace horizontale doit être tangente à la base du cône, donc elle est déterminée, et par conséquent sa trace verticale l’est aussi.

Problème XVIII.

52. Mener un plan tangent a une surface conique et qui soit parallèle à une d/vite donnée.

Gomme le plan demandé doit passer par le sommet du cône, ou voit que la parallèle, menée par ce sommet à la droite donnée, sera tout entière dans le plan tangent, de sorte que les points où elle percera les plans de projection appartiendront aux traces horizontale et verticale de ce plan ; mais la première de ces traces doit être tangente à la base du cône, donc elle est déterminée, donc la première l’est aussi.

Problème XIX.

53. Mener un plan tangent h une surface cylindrique , 1 ° par un point donné sur cette surface ( par une de ses projections ) ; 2° par un point donné hors de celte surface ; 3° parallèlement il une droite donnée.

Une surface cylindrique pouvant être regardée comme

DK GÉOMÉTHIK DESCRIPTIVE. 417

une surface conique dont le centre s’est éloigné indéfiniment, on voit que les solutions du problème actuel ne sont que des cas particuliers des problèmes analogues que nous venons de résoudre pour la surface conique. Nous observerons seulement que, dans le troisième cas, la parallèle menée à la droite donnée par le centre de la surface conique devenant tout à fait indéterminée, il faudra mener par un point de cette droite une parallèle aux génératrices de la surface cylindrique, dont la direction est une des données de la question ; le plan déterminé par ces deux droites sera parallèle au plan tangent (G. , 4<>U) , de sorte que la trace horizontale de ce dernier sera une tangente menée à la base du cylindre parallèlement à la trace horizontale du plan auxiliaire. Cette trace sera donc déterminée, et par conséquent l’autre le sera aussi.

Nous engageons les élèves à exécuter les épures des problêmes XVII, XVIII et XIX. lis auront soin de déterminer d’abord les limites de la projection horizontale et çle la projection verticale de la surface conique ou cylindrique, ce qui leur fera distinguer les parties de ces surfaces qui seront visibles de celles qui ne le seront pas.

Paoblkmf. XX.

«>4. Mener un plan tangent h une surface de rèvo - Fig. lut ion, par un point donne sur cette surface.

Nous supposerons, pour plus de simplicité, que l’on ait pris, pour plan horizontal, un plan perpendiculaire à l’axe de révolution , et nous déterminerons alors la surface proposée par la trace horizontale O de cet axe et par la projection verticale A'B'C'D' de l’iutcrscction de cette surface par un plan parallèle au plan vertical, projection qui sera égale à cette intersection. 11 est évident, en effet, que la projection d’un polygone sur un plan parallèle au sien est égale à ce polygone, et que celte proposition étant vraie indépendamment de la grandeur de scs cotés et de ses angles, elle le sera encore lorsque ce polygone dégénérera en une ligne

courbe. Menons à la courbe A'B'C'D', que nous supposerons être une ellipse ('), deux tangentes EU' et FD' perpendiculaires à LT, leurs prolongements seront aussi tangents à la circonférence décrite du point O comme centre, avec un rayon égal à O'B'. Cette circonférence sera la limite de la projection horizontale de la surface, de même que A'B'C'D' est celle de sa projection verticale.

Cela posé, soit M la projection horizontale du point donné. La trace du plan de la courbe méridienne, sur laquelle ce point est situé, est donc la droite OM. Supposons que l’on fasse tourner ce plan autour de l’axe jusqu’à ce qu’il soit devenu parallèle au plan vertical de projection , la méridienne se projettera alors sur

(*) L’ellipsk est une courbe telle que ta somme des distances de chacun de ses points à deux points fixes, que l’on appelle ses foyers, est égale à une même droite, nommée son grand axe. Ainsi, Fig. 32 bis. pour décrire une ellipse dont F et F' seraient les foyers et a le grand axe, on tirera par ces deux points une ligne droite sur laquelle on prendra, à partir du milieu O de FF’, deux distances OA et OA' égales à — et les points A et A' appartien-

dront à l'ellipse. Puis des points F et F’, comme centres et avec un rayon quelconque AC , mais plus grand que F A , on décrira quatre arcs de cercle que l’on coupera par quatre autres décrits des points respectifs F’ et F avec CA* pour rayon , et les quatre points M, M' , M”, M", appartiendront à l’ellipse. En répétant cette construction , on trouvera autant de points que l’on voudra de cette courbe, de sorte que pour la tracer il ne s’agira plus que d’unir tous ces points par un trait continu. Si les deux rayons sont égaux à OA, on obtiendra les deux points B et B', et la distance B B' s’appellera le petit axe de l’ellipse qui est évidemment symétrique de part et d’autre de ses deux axes.

Pour mener une tangente à l’ellipse au point M , on joindra ce point à l’un des foyers F', par une droite que l’on prolongera d’une longueur F'D = FM, et on abaissera de M une perpendiculaire MT sur DF. Ce sera la tangente demandée. 11 suit de cette construction que les tangentes aux points A et A' sont parallèles au petit axe et que les tangentes aux points B et B' le sont au grand.

UK GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 419

A B CD , et, comme le point ftl aura décrit dans ce mouvement l’arc MN, sa projection verticale devra être alors l’un des deux points N' ou N", où A'B'C'D' est rencontrée par la perpendiculaire NN'N" à LT. Mais si l’on ramène le méridien à sa position primitive, le point cherché décrira un arc de cercle qui , parce que son plan sera horizontal, se projettera verticalement sur la parallèle menée à LT par le point N' ou par le point N”; donc enfin la projection verticale du point cherché sera l’un ou l’autre des deux points M' ou M". Ainsi il y a deux points (M,M') et ( M, M") de la surface proposée qui ont le point donné M pour projection horizontale.

Proposons-nous de mener le plan tangent par le point (M, M ). Il sera déterminé par les tangentes menées eu ce point à la méridieunc et au parallèle sur lesquels il est situé. Donc ses traces passeront par les traces de ces deux droites.

Le parallèle ayant la circonférence M N pour projection horizontale, sa tangente au point (M, M ) sc projettera horizontalement suivant la tangente MG à cette circonférence (’), et verticalement suivant la droite N'M', trace verticale de son plan. Donc elle perce le plan vertical au point G'.

Pour construire la tangente à la méridienne au point (M, M'), je ramène son plan à être parallèle au plan vertical de projection. Le point (M, M ) viendra ainsi se placer sur (N, N') : la tangente en ce point aura alors

(') Si l’on projette sur un même plan, le plan horizontal par exemple, une courbe CM B (G., fig. 239), et sa tangente MT, les projections de ces deux lignes seront elles-mêmes tangentes. Concevons en effet que l’on fasse passer par cette courbe et par la tangente un cylindre et un plan verticaux , leurs traces A'M'B' et M'T' sur le plan de projection seront la projection de la courbe et de sa tangente; mais notre plan vertical étant tangent au cylindre (G. , Ô07) doit renfermer la tangente M'T' mené au point M' de A' M'B'; celte tangente doit aussi se trouver dans le plan de In courbe, donc elle n’est autre que M'T" .

pour projection verticale la tangente N H' à la courbe A'B'C'D', et pour projection horizontale la droite D B, de sorte que sa trace horizontale sera actuellement le point II. Mais en ramenant notre méridien à sa véritable position, cette trace II viendra se placer en I, en décrivant l’arc HI , de sorte que notre tangente perçant le plan horizontal en I et passant par (M, M')aura MT et M I pour projections.

Notre plan tangent est maintenant déterminé; car, puisqu’il est perpendiculaire au méridien (G.,i>91), sa trace horizontale doit être perpendiculaire à ce plan (G., 481). En conséquence, on tirera par le point 1 une perpendiculaire h la trace O I de ce méridien et on joindra ensuite le point où elle coupera la ligne de terre avec le point G'.

Pour avoir une vérification des constructions précédentes, il n’y aura qu’à chercher la trace verticale de la tangente (MI, MT) au méridien, et celte trace devra se trouver sur la trace verticale du plan tangent.

Si l’on remarque que les droites N' H' et MT vont concourir sur O O', car, dans son mouvement, la tangente (NH, N'Ii') n’a pas cessé de couper l’axe au même point, on verra que le plan tangent doit passer par le point (O, K'); d’où il suit que si l’on joint le point K/ avec le pied P' de la perpendiculaire abaissée sur LT du point P, où DB prolongée coupe la trace horizontale du plan tangent, cette droite K' P' sera la projection verticale «le l’intersection de ce plan par le vertical OP, donc elle devra être parallèle à la trace verticale du plan tangent, ce qui founira une nouvelle vérification.

Observons enfin que les normales (G., 819), menées par tous les points d’un parallèle, vont couper l’axe de révolution au même point; car si, dans le plan d’un méridien CMD(G., fig. 233), on mène une perpendiculaire ME à la tangente. MT à cette courbe, celte droite M E sera la normale à la surface au point M (G., 479), donc elle sera perpendiculaire sur la tan-

"cnle M V au parallèle MM'Q; mais quand la méridienne CMD tournera autour de CI), le point M décrira ce parallèle et la droite ME ne cessera pas d’être perpendiculaire aux deux tangentes MT et MY, c’està-dire d’être normale à la surlace de révolution.

11 suit de là que si par le point N' on tire la perpen- Fig. 32. diculairc ft'Q' à la tangente N'H', et que l’on joigne Q'M', cette droite sera la projection verticale de la normale au point (M , M ), et par conséquent elle devra être perpendiculaire à la trace verticale du plan tangent (G., 4112), ce qui nous donne encore un moyen très-simple de vérification.

En répétant pour le poiut (M, M") les constructions que nous avons exécutées pour le point (M,M'), on obtiendra les traces du plan tangent en ce point , et la symétrie de la figure montre clairement que le point d’intersection des traces verticales des deux plans tangents, ainsi que ceux où se croiseront les projections verticales des tangentes aux points (N, N’) et (N, i\"),

( M , M') et ( M, M") seront situés tous trois sur la droite