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Problème XXI.

iii). Mener un plan tangent h une sphère par une dmite donnée.

Si d’un point A (G., fig. 5G) on mène une tangente AT à une circonférence, puis, que l’on fasse tourner la figure autour du diamètre AO, il est clair que la droite AT décrira une surface conique circonscrite à la sphère engendrée par le demi -cercle BTC; que la courbe de contact sera une circonférence qui aura pour centre le pied de la perpendiculaire abaissée de T sur AO, pour rayon cette perpendiculaire, et dont le plan sera perpendiculaire à AO. On voit, en outre, que tout plan tangent h ce cône le sera à la sphère, car il contiendra deux tangentes à celte dernière surface, savoir; une génératrice du cône et une tangente à la courbe de contact.

Fig. 33. Ces principes établis, nous supposerons que les deux plans de projections passent par le centre de la sphère, de sorte que le rabattement de la trace verticale de la surface sphérique coïncidera avec sa trace horizontale. Il suffira, pour résoudre le problème, de concevoir un cône circonscrit à la sphère, et dont le sommet serait un point de la droite donnée (AB, A' B'), et de mener par cette droite un plan langent à ce cône.

Or, si l’on prend la trace horizontale de la droite (AB, A'B') pour sommet de ce cône, les génératrices horizontales de sa surface seront les tangentes A C et AD à la circonférence, de sorte que sa ligne de contact avec la sphère sera la circonférence décrite sur CD comme diamètre dans le plan vertical CD; donc les points où les plans demandés toucheront la sphère, seront deux points de cette circonférence. Si donc on fait, pour la trace verticale (B, B') de la droite donnée, la même construction que pour (A, A'), on aura une seconde courbe qui devra contenir les points de contact, de sorte qu’ils seront ainsi déterminés.

Pour les obtenir, j’observe d’abord que la droite qui joint ces points a pour projections horizontale et verticale CD et F'E', de sorte qu’elle perce les plans de projection aux points I et G', or, si je rabats le plan vertical du cercle CD sur le plan horizontal, en le faisant tourner autour de CD, ce point G' viendra se placer en G" sur une perpendiculaire à CD et à une distance de G égale à GG'; mais le point 1 n’aura pas varié, donc la corde de contact se trouvera rabattue sur IG' ; et, par conséquent, ses extrémités, c’cst-à-dire les points de contact se trouveront à l’intersection de cette droite avec la circonférence CD, c’est-à-dire en m et en n. Pour avoir les projections de ces points, je ramène le plan mobile à sa position primitive, et les points m et n viennent ainsi se projeter horizontalement sur les pieds M et N des perpendiculaires abaissées de m et de n sur l’axe de rotation CD; donc leurs projections verticales sont les points M' et N', oii les perpendicu-

laires MM' et NN' à LT rencontrent E'F', de sorte que, pour achever la solution du problème, il n’y aura qu’à faire passer des plans par la droite (AB, A'B ) et par chacun des points (M, M') et (N, N'); mais le plan tangent à la sphère étant perpendiculaire sur le rayon qui va au point de contact , il sera plus simple de construire les projections des rayons menés aux points de tangence, et d’abaisser ensuite des points A et B' des perpendiculaires respectivement sur leurs projections horizontales et sur leurs projections verticales. Il y aura une vérification , parce que les deux traces de chaque plan devront se croiser sur la ligne de terre.

Problème XXII.

56 . Circonscrire un cercle à un triangle donné, dans l’espace , par les projections de ses sommets (A, A'),(B,B'),(C,C'J. Fig. 34.

On conduira d’abord- un plan PQR' par ces trois points, puison fera tourner ce plan autour de sa trace horizontale, jusqu’à ce qu’il viennes’appliquer sur le plan horizontal , et on construira ainsi le rabattement abc du triangle que les trois points donnés forment dans l’espace. Pour cela, on abaissera du point D une perpendiculaire sur l’axe de rotation PQ, on la coupera par un arc de cercle décrit du point Q comme centre avec ' le rayon QD', et, en joignant QD'', on aura le rabattement de la trace verticale de notre plan auxiliaire, de sorte qu’en joignant le point D' avec la trace horizontale E de la droite (BC, B'C'), on obtiendra le rabattement de cette droite. On déterminera semblablement les rabattements F"G et I"H des droites (AC,

A' C') et (AB, A'B'), et on aura une vérification en ce que les points a et A, b et B, c et C devront se trouver sur des perpendiculaires à PQ. Cela posé, le centre o du cercle circonscrit au triangle abc sera le rabattement de celui que l’on demande. Pour déterminer les projections de celui-ci , je ramène le plan auxiliaire à sa position primitive, et le point o dé-