AM B , AN F

AM B : donc cet angle aura pour mesure j —

FNAMB . . , 2 2 , ,

: car, pour soustraire une quantité d une autre, il faut

l’écrire à la suite de cette autre avec un sigue contraire au sien.

l*E I V CIRCONFÉRENCE.

enfin l’angle ABC a pour mesure la moitié île AC plus la moitié de DF, ce qu'il fallait démontrer.

Théorème XXV.

121. L’angle ABC, dont le sommet est situé hors pig, 45 , de la circonférence, a pour mesure la demi-différence

des aies concave et convexe AC et DF compris entre ses côtés.

Menons par le point F la parallèle FI au coté BC, et nous formerons l’angle inscrit A FI, égal à ABC: donc cet angle ABC aura pour mesure la moitié do l’arc AI compris entre les côtés de A FI, ou, ce qui revient au même, la demi-différence des arcs AC et CI.

Mais CI = DF : donc l’angle ABC a pour mesure la demi-différence des arcs AC et DF, ce qu’il fallait démontrer.

122. Nous avons vu qu’nn angle au centre a pour mesure l’arc compris entre ses côtés. On peut se demander si la réciproque de cette proposition est vraie, c’est-à-dire si de ce. qu’un angle a pour mesure l’arc concave AMC compris entre scs côtés , on doit coh- F ig. 4(5. dure que cet angle ait son sommet au centre.

Le principe que nous avons posé au 11 0 93 va nous conduire à la solution de cette question. F.n effet , si l’angle dont il s’agit n’a pas son sommet au centre, il l’aura nécessairement ou hors de la circonférence, ou sur la circonférence, ou entre cette courbe et le centre. Dans le premier cas sa mesure sera moindre que la moitié de AMC (121) , et dans le second elle sera précisément la moitié de AMC (1 liî) : donc les deux premières hypothèses ne peuvent avoir lieu. Actuellement si le sommet de l’angle est placé entre le centre et la circonférence, cet angle aura pour mesure la moitié de l’arc AMC compris entre ses côtés, plus la moitié de l’arc compris entre leurs prolongemenls(l 20 ): donc pour qu’il ait pour mesure l’arc AMC, il suffira que l’arc compris entre les prolongements de ces côtés soit égal à AMC, donc si l’on prend un arc que/con-

que DNF égal à A MC, et que l’on tire les eortles transversales AF et DC, on formera un angle ABC qui aura pour mesure l’arc A MC compris entre ses côtés, et dont le sommet ne sera pas au centre; et l’on voit qu’il y a une infinité d’angles qui jouissent de cette propriété. Donc la réciproque du théorème XX est fausse.

Théorème XXVI.

123. Tout angle qui a pour mesure la moitié de Fig. 42. l'arc concave AM C, compris entre ses cotés, a son sommet placé sur la partie restante de la circonférence.

Cette proposition est la réciproque de celle du n° 1 13, et se démontrera d’après la règle du n° 03.

124 Corollaire. Il suit de là que si l’on fait mouvoir un angle ABC sur un plan , de manière que ses deux côtés passent constamment par deux points fixes A et C de ce plan, son sommet B décrira un arc de cercle tel que tous les angles que l’on pourra y inscrire seront égaux à l’angle B.

123. Remarquons que si l’angle B était droit, l’arc dont il s’agit serait une demi-circonférence (107). Donc le lieu des sommets de tous les angles droits dont les côtés passent par deux points donnés , est une circonférence dont le diamètre est la dtvile qui les unit.