AB : DF

ce qu’il fallait démontrer (').

(*) On peut remplacer cette démonstration par la suivante, Fig. 37. due à Ampère, et qui nous paraît plus simple.

Portons l’arc DF sur l’arc AB autant de fois que la chose sera possible, nous trouverons qu’il y est contenu deux fois avec le reste L B : de sorte que

AB~ aDF-f IB.

Mais si nous joignons les points de division GetI avec le centre , nous formerons les deux angles A O G et G O I , égaux à DCF ( io5); de sorte que

Ainsi l’angle AOB contient l’angle DCF autant de fois que l’arc AB contient l’are DF, et l’angle restant I O B correspond à l’arc restant I B : par conséquent , si l’on porte à son tour 1 B sur DF, et que l’on joigne les points de division avec le centre C, on verra de même que l’angle DC F contiendra IOB autant de fois que D F contient I B, et que l’angle restant K C F, correspondra à l’arc restant KF, et ainsi de suite, si l’on continue d’effectuer sur les arcs A B et DF et sur les angles AOB et

Théorème XX.

100. Un angle a pour mesure U arc compris entre ses cotés et décrit de son sommet comme centre.

Mesurer un angle, c’est chercher le rapport de cet Fig. 38. angle à un autre angle pris pour unité. Si donc A est l’angle à mesurer, et D l’unité angulaire, la mesure de l’angle A sera le rapport de A à D. Mais nous venons de voir que deux angles sont proportionnels aux arcs compris entre leurs côtés et décrits de leurs sommets comme centres, avec des rayons égaux : donc, si des points A et D comme centres, et avec la même ouverture de compas , nous décrivons les arcs B et C , le

rapport g sera le même que celui et par conséquent ce dernier sera la mesure de l’angle A. Or, si l’on convient de prendre l’arc C pour unité d’arc , le rapport sera la mesure de l’arc B : donc la mesure de

l’arc B sera aussi celle de l’angle A, ce qu’on énonce en disant qu’«« angle a pour mesure l’arc compris entre ses côtés , et décrit de son sommet comme centre.

110. Scholie. Remarquons toutefois qu’il ne faut pas prendre à la lettre cette manière de s’énoncer : car elle est tout à fait inexacte, attendu que l’on ne peut comparer entre elles que des quantités homogènes, tandis qu’un angle et un arc sont des quantités d’espèces essentiellement différentes; mais quand on dit

D CF les opérations nécessaires pour trouver la commune mesure des deux premières quantités et celle des deux autres. Les deux séries de quotients que l’on trouvera ainsi seront donc les mêmes. Par conséquent, si ou développe en fraction continue le rapport des deux arcs A B et D F et celui des deux angles A O B ctDCF, on trouvera la même expression (3o);donc ces deux rapports sont égaux ; donc on a la proportion

aob:dcf :: abjdf,

ce qu’il fallait démontrer.

DE LA CIRCONFÉRENCE

qu’un angle a pour mesure l’arc compris entre ses côtés et décrit de son sommet comme centre , on doit entendre que le nombre abstrait qui exprime la mesure de l’angle est celui même qui exprime la mesure de l’arc compris entre ses cotés , en prenant pour unité d’arc l’arc décrit avec le même rayon entre les côtés de l'unité angulaire.

111 . On prend ordinairement l’angle droit pour unité angulaire, et par conséquent le quadran pour unité d’arc : d’où l’on voit que, pour avoir alors la mesure d’un angle, il faudra chercher le rapport de l’arc compris entre ses côtés et décrit de son sommet comme centre au quadran de la circonférence dont il fait partie, ce qui ne saurait présenter de difficulté , puisqu’il suffira d’appliquer à ces deux arcs la méthode du n° 24 et le calcul du n° 21».

112 . Pour faciliter, dans la pratique des arts, l’évaluation du rapport d’un arc donné au quadran de la circonférence à laquelle il appartient, on est convenu de partager la circonférence en 400 parties égales que l’on nomme grades et que l’on désigne par la lettre * ; de sorte que le quadran (’) contient 100*. On a ensuite subdivisé le grade en cent parties égales appelées minutes (') , et la minute en cent parties égales nommées secondes ("). Il suit de là que le grade est la centième partie du quadran ; que la minute est la centième partie du grade, et par conséquent la dix millième partie du quadran ; enfin , que la seconde est la centième partie de la minute, et partant la millionième partie du quadran; de sorte qu’un nombre quelconque de grades, de minutes et de secondes peut toujours s’exprimer en fraction décimale du quadran. Par exemple, un arc de 145* 82' 36" équivaut à I 7 , 458236 : car 100* = I 7 ; 45* sont les 45 centièmes du quadran ; 82' = 0 7 , 0082 et 36" = 0 7 , 000036. Donc un angle qui comprend entre ses côtés un arc de 145* 82' 36" vaut 1 “,458236, c’est-à-dire un angle droit, plus les quatre cent cinquante-huit mille deux cent trente-six inillio-

mêmes d’un droit. Don c,pour obtenir la mesure d’un angle , il suffira d’évaluer l’arc compris entre ses cotés en fraction décimale du qui t (Iran, et celte fraction , considérée comme exprimant des parties de l’angle droit, sera là mesure demandée.

113 . Avant l’établissement du système métrique décimal, on partageait la circonférence en 360 parties égales nommées degrés (°), de sorte que le quadran contenait 90°; le degré se subdivisait en 60 minutes, et la minute en 60 secondes. Pour avoir, dans ce système, la mesure d’un angle , il faut donc prendre le rapport du nombre de degrés et de parties de degré contenus dans l’arc correspondant à 90". Pour cela , on convertit cet arc, ainsi que 90", en imités de la plus basse espèce de celles qu'il contient, et l’on prend le rapport des deux nombres abstraits ainsi trouvés. Par exemple, si l’angle à mesurer intercepte entre ses côtés un arc de 36° 54' 45", on réduira cet arc en secondes, ce qui donnera 132885", on verra de même que 90" = 324000", de sorte que l’angle donné est les

Je l’anale droit

Cette division de la circonférence en 360 parties égales présente des avantages qui la font encore préférer à la nouvelle dans bien des circonstances. Le principal tient à la propriété qu’a le nombre 360 d’avoir beaucoup de diviseurs : ainsi ^ -J-, , ÿ, , —,

Tï> îlT> elc -’ * a circonférence, valent respectivement 180», 120", 90", 72°, 60", 40", 36», 30", 24", etc.

114 . Mais comment évaluer le nombre des parties du quadran contenues dans un arc donné? On y parvient au moyen du rapporteur. C’est un demi-cercle en cuivre ou en corne, dont la circonférence est divisée en grades ou en degrés, et quelquefois en demigrades ou en demi-degrés. Si l’instrument est en cui-

Fi;;. 39. vrc, la partie A'B'C' est évidée, et le centre est indiqué par un très-petit cran O. Deux autres entailles A' et C' laissent voir les deux points A' et C' du diamètre AOC. Le rapporteur en corue n’a pas besoin de ces

IHv I.A CinCONTKUEXf.E.

entailles à cause de sa transparence; seulement il est percé h son centre d’un très-petit trou.

Si maintenant on veut savoir combien un arc MN Fig. 40. vaut de degrés, par exemple, on mènera de son centre O à scs extrémités deux droites indéfinies, puis on placera le diamètre AC d'un rapporteur divisé en 180° sur le côté UM, de manière que son centre coïncide exactement avec celui de l’arc MN, et l'on verra par quelle division passe l’autre côté ON; le numéro de cette division indiquera le nombre de degrés de l’arc MN : car tous les arcs compris entre les côtés de l’angle NOM doivent être du même nombre de degrés, puisque le rapport de chacun d’eux au quadran de la circonférence à laquelle il appartient, étant la mesure de cet angle ( 109 ), doit être une quantité constante.

Si le côté ON passait entre deux traits consécutifs de la division du limbe, on verrait duquel il se rapproche le plus ; ce serait alors le numéro de ce trait que l’on prendrait pour l’indication du nombre de degrés de l’arc, et l’on aurait ainsi la valeur de cet arc a moins d’un demi-degré prés.

Théo uk me XXI.

lia. Tout angle inscrit {on appelle ainsi celui qui est formé par deux cordes qui se coupent sur la circonférence ) a pour mesure la moitié de l'arc compris entre scs cotés.

Nous distinguerons trois cas, selon que le centre sera sur un des côtés de l’angle, qu’il sera intérieur ou extérieur à l’angle.

1" Soit l’angle BAC, dont le côté AC. passe par le Fig. 41. centre O. Si nous menons le diamètre 1K parallèle à A B, nous formerons l’angle IOC égal à BAC son correspondant, par rapport aux parallèles A B et I O et à la sécante AC; or l’angle au centre IOC a pour mesure l’arc IC compris entre ses côtés : donc l’angle BAC a aussi pour mesure cet arc IC. Mais l’arc IC est égal à

AK; car ils correspondent aux angles égaux IOC et A O K (49 et 106 ) ; d’un autre côté l’arc A K est égal à B I, puisqu’ils sont compris entre les cordes parallèles AB et IK (89) : donc les deux arcs IC et BI, égaux à un troisième AK, sont égaux; donc IC est la moitié de l’arc BC; donc enfin l’angle BAC a pour mesure la moitié de l’arc BC compris entre scs côtés.

‘2° Considérons l’angle B AD qui comprend le centre entre scs côtés. Si nous menons le diamètre AC, nous le décomposerons dans les deux angles BAC et CAD, de sorte qu’il aura pour mesure la somme des mesures de ces angles. Mais, d’après ce que nous venons de voir, les angles BAC et CAD ont respectivement pour mesures la moitié de BC et la moitié de CD : donc l’angle BAD a pour mesure ^ BC 4- J CD, c’est-à-dire la moitié de B CD.

3° Soit enfin l’angle FA B artquel le centre est extérieur. Je tire encore le diamètre AC, et je forme ainsi les deux angles FAC et BAC, dont la différence est précisément l’angle proposé FA B : donc sa mesure sera la différence de leurs mesures. Or les angles FAC et BAC, dont un des côtés passe paV le centre, ont respectivement pour mesures la moitié de FC et la moitié de BC : donc l'angle FA B a pour mesure J FC — ^BC, c’est-à-dire la moitié de F B.

Fig. 42. 116. Coroll a ire i. Tous les angles ABC, A D C,

A FC, inscrits dans un même arc ABC, c’est-à-dire qui ont leurs sommets placés sur cet arc, et dont les côtés passent par ses extrémités A et C, sont égaux, puisqu’ils ont pour mesure la moitié du même arc AMC, compris entre leurs côtés.

Fig. 43. 117. Corollaire ii. Tout angle D O F inscrit dans

une demi-circonfcrence est un angle droit : car il a pour mesure la moitié de l’arc DM F compris entre ses côtés, c’est-à-dire un quadran (107).

DE LA CIRCONFÉRENCE

Théorème XXII.

118 . L’angle BAT forme par une corde et la tangente h l’une de ses extrémités a pour mesure la moitié de l’arc BMA compris entre ses cotés.

Si l’on conçoit en effet que la corde AD, supposée prolongée indéfiniment, tourne autour du point A, de manière qu’elle tende à sortir de la circonférence, le point D se rapprochera sans cesse de A, et l’angle BAI) ne cessera pas d’avoir pour mesure la moitié de l’arc B CD compris entre ses côtés : donc à la limite, c’està-dire quand le point D sera venu se réunir au point A, ou, en d’autres termes, quand la sécante AD sera devenue la tangente AT, l’angle correspondant BAT aura encore pour mesure la moitié de l’arc BMA compris outre scs côtés (').

Théorème XXIII.

119 . L ’ angle D'A B , formé par une corde A B et par le prolongement d'une autre A F, a pour mesure la demi- somme des arcs F N A et AM B, sous-tendus par ces cordes.

En effet la somme des angles adjacents B AD' et FA B vaut deux droits : donc la somme de leurs mesures est une demi-circonférence; or l’angle inscrit FA B a pour mesure la moitié de l’arc F’B compris entre scs côtés; donc, en retranchant cette moitié d’une demi-circonférence, on aura la mesure de l’angle B AD'. Mais re-

(’) On peut démontrer ce théorème directement de la manière suivante : Par le point de contact A menons le diamètre A C, nous décomposerons ainsi l'angle BAT dans les deux angles BAC et CAT: donc il aura pour mesure la somme de leurs mesures. Or l’angle CAT, qui est droit (84), a pour mesure un quadran (109), c’est-à-dire la moitié de la demi-circonférence A MC; l'angle inscrit BAC a pour mesure la moitié de l’arc BC compris entre ses côtés : donc l’angle BAT a pour mesure 7 AMC-f-^BC, c’est-à-dire la moitié de l’are A MB intercepté par ses côtés.

l’ig. 41.

trancher 1 FB d’une dorni-ciiTonfcrcncc, revient évidemment à retrancher F B de la circonférence entière, et à prendre la moitié du reste FNAMB, donc enfin l’angle BAD' a pour mesure J F N A M B , c’est-à-dire la demi-somme des deux arcs F N A et A M B (*).

Théorème XXIV'.

Fig. U. 120. t angle ABC , dont le sommet est placé entre le centre et la circonjérence > a pour mesure la demisomme des arcs A C et DF compris entre ses côtés et leurs prolongements.

Si nous menons par le point F la parallèle FI au côté BC, nous formerons l’angle inscrit AFI, égal à l’angle ABC : donc l’angle ABC aura pour mesure la moitié de AGI (113), c’est-à-dire la moitié de AC plus la moitié de CI. Mais l’arc CI = DF (00) : donc

( *) Ce théorème est, ainsi que le precedent, un cas particulier de celui du n° 115. Pour le faire voir, nous admettrons une convention que l’on fait dans l'application de l'algèbre à la géométrie, savoir, que quand deux distances sont comptées dans des sens directement contraires, on indique celte opposition de direction en les affectant l'une du signe plus et l'autre du signe moins.

Cela posé, la proposition du n° 1 15 revient à dire qu’«/t angle inscrit a pour mesure la demi-différence des ares sous-tendus par scs côtés, en comptant ces deux arcs dans le meme sens. Ainsi

AMB-AMD

l’angle BAD a pour mesure , et cette mesure

restera la même lorsque le côté AD tournera autour du sommet A : donc, quand AD sera devenue la tangente AT, l’angle

BAT aura pour mesure

A MB

: car alors l’arc AMDsera nul.

Si AD continue détourner, son prolongement rentrera dans la circonférence, et l’arc sous-tendu A N F, étant compté en sens contraire de A MB, sera négatif; mais pour avoir la mesure de D'AB, il faut retrancher la moitié de cet arc A N F de celle de