CHAPITRE II

DES QUADRILATÈRES

171. Parmi les quadrilatères on distingue le trapèze y le parallélogramme , la losange, le rectangle et le carré.

172. On appelle trapèze un quadrilatère A DCD , Fig. 68. dont deux côtés seulement sont parallèles.

Les côtés parallèles A B et D C se nomment les bases du trapèze, et la perpendiculaire DE abaissée d’un point de l’une des bases sur l’autre, en est la hauteur.

173. Le parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles. Telle est la figure 69.

Théorème I.

174. Les côtés opposés AB c/ CD, B C et AD, d'un parallélogramme A B C D sont égaux.

Tirons la diagonale A C , et nous formerons les deux Fig. 69. triangles égaux ABC et A CD. En effet, le côté AC leur est commun, l’angle CAB est égal à A CD : car ils sont allernes-interues par rapport aux parallèles AB et CD et à la sécante AC; de même l’angle ACB est égal à CAD, son alterne-interne , par rapport aux parallèles CB et AD et h la même sécante : donc les deux triangles ABC et ACD ont un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun ; donc ils sout égaux (1G1); donc leurs parties homologues sont égales (102) : ainsi le côté CB opposé à l’angle CAB, est égal au côté AD, opposé à l’angle ACD; de même le côté A B est égal à son homologue C D ; donc enfin les côtés opposés de deux parallélogrammes sont égaux.

173. Corollaire. Les parties de deux parallèles comprises entre deux autres parallèles sont égales.

176. Scholik. Les angles opposés d'un parallélogramme sont égaux : car leurs côtés sont parallèles et diriges en sens contraires.

Théorème II.

177. Réciproquement, si dans un quadrilatère A B C D les cotés opposés AB et CD, B C et AI), sont égaux , la figure sera un parallélogramme.

Si nous tirons la diagonale AC, les deux triangles ABC et ACD , que nous formerons ainsi, auront leurs trois côtés égaux chacun à chacun, et seront par conséquent égaux (167). Donc leurs angles homologues seront égaux (168) : ainsi l’angle CAB, opposé au côté BC, sera égal à l’angle ACD , opposé au côté AD. Mais ces angles sont alternes-internes par rapport aux droites A B et CD et à la sécante AC : donc ces droites sont parallèles (70). Par une raison semblable AD est parallèle à CB; donc le quadrilatère A B CD est un parallélogramme (173).

Théorème III.

Fig. 69. 178. Si deux côtés AB et CD d’un quadrilatère

sont égaux et parallèles , la figure sera un parallélogramme.

Tirons encore la diagonale AC , et les deux triangles ABC et ACD, que nous formerons ainsi, auront un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun : car le côté AC est commun ; AB=CD ; et puisque ces deuxeôlés sont déplus parallèles, les angles CABel ACD sont égaux comme alternes-internes : donc les triangles ABC et ACD sont égaux ; donc leurs angles homologues A Ci B et C! A D sont égaux; donc les droites CB et AI) sont parallèles (70); donc le quadrilatère AHCD est un parallélogramme (173).

Théorème IV.

170. Les diagonales d'un parallélogramme se coupent mutuellement en deux parties égales.

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Si l’on compare, en efi'et , les deux triangles AO B ét COJ) , on voit que le côté AB est égal à CD (174), que l’angle OAB=OCD, et que l’angle OBA =

ODC ( 61 ), 1 °) : donc les deux triangles AO B et COD sont égaux ( 161 ) ; donc leurs côtés homologues AO et OC , OBetOD, sont égaux ; donc les deux diagonales AC et BD se coupent mutuellement en parties égales.

180. Scholie. Si l’on mène par le point de section O des deux diagonales une sécante quelconque, les parties OI et OR comprises entre le point O et le périmètre du parallélogramme seront égales : car les triangles DOl et ROB sont égaux (161). Cette propriété dont jouit le point O l’a fait nommer le centre de figure du parallélogramme. En général, on appelle centre d’une ligne ou d’une surface un point tel que toute sécante menée par ce point rencontre la ligne ou la surface en des points qui en sont deux à deux équidistants.

Théorème Y.

1 81 . Deux parallélogrammes sont égaux lorsqu ’ ils ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun h chacun.

Il sera facile de démontrer ce théorème en superposant les deux figures.

182. Dans un parallélogramme et dans un triangle on donne le nom de base à l’un quelconque des côtés, et l’on appelle hauteur la perpendiculaire abaissée sur la hase d’un point quelconque du côté opposé du parallélogramme ou du sommet de l’angle opposé du triangle, sommet que l'on nomme le sommet du triangle.

AB est la hase du parallélogramme ABCD, et CE est

sa hauteur. AB, CD et C sont respectivement la base, Fig. 70. la hauteur et le sommet du triangle ABC.

183. Si les deux côtés contigus d’un parallélogramme ABCD sont égaux, les deux autres sont aussi Fig. 71. égaux entre eux et à ces deux-là (174), et la figure

prend alors le nom de losange. Ainsi, la losange est

un quadrilatère dont les cotés sont égaux.

184. Il suit du n° 177 que la losange est un parallélogramme, et qu’en conséquence ses diagonales doivent se couper mutuellement en deux, parties égales (179). Mais il y a plus, elles sont perpendiculaires Tune sur l'autre : car les deux triangles AOB, BOC,sont équilatéraux entre eux, et ainsi l’angle AOB est égal à son homologue BOG.

On pourrait dire encore que les sommets opposés A et C étant chacun équidistants des deux autres B et D, la diagonale qui les unit est perpendiculaire sur le milieu de celle qui joint ces deux derniers (60), et réciproquement.

Fig. 72. 18o. Si l’un quelconque des angles d’un parallélo-

gramme est droit, son adjacent le sera aussi (69, 4 U ); et , comme ces deux angles sont égaux à leurs opposés (71), le parallélogramme aura ses quatre angles droits, et en conséquence on lui donnera le nom de rectangle. Ainsi, le rectangle est un quadrilatère dont les angles sont droits.

186. Les diagonales d’un rectangle se coupent mutuellement en deux parties égales (1 7 9) ; et de plus elles sont égales : car les triangles ABC et A BD, par exemple, ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun ; donc leurs hypoténuses AC et BD sont égales.

Fig. 73. 187. Si deux côtés contigus d’un rectangle ABC D

sont égaux, les deux autres le seront aussi, et la figure sc nommera alors un carré. Le carré est doue un quadrilatère dont les côtés sont égaux et les angles droits. Ses diagonales se coupent en deux parties égales (179), à angles droits (184), et elles sont égales (186).

188. Nous avons vu que l’on pouvait faire passer une circonférence par trois poiuts qui ne sont pas en ligne droite, et par conséquent par les sommets d’un

Fig. 74. triangle ABC, mais que l’on n’en pouvait faire passer

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qu’une (79) : donc un quatrième point E pris an hasard sur le plan de ce triangle ne se trouvera point sur la circonférence dont il s’agit; par conséquent, un

S iadrilatère quelconque n’est pas inscriptiblc au cere; à plus forte raison en est-il de même pour un polygone d’un plus grand nombre de côtés. Quelles sont donc les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un quadrilatère soit inscriptiblc?

Théorème VI.

189. Dans tout quadrilatère inscrit ABCD la somme des angles opposés est égale h deux droits ; et réciproquement, si deux angles opposés A et C sont supplémentaires, le quadrilatère est inscriptiblc au cercle.

1° En effet, dans le quadrilatère inscrit ABCD la somme des deux angles opposés A et C a pour mesure la demi-somme des arcs DCB et DAB, c’est-à-dire la moitié de la circonférence : donc cette somme vaut deux droits.

2° Soit ABCD un quadrilatère dans lequel les deux angles opposés A et C sont supplémentaires. Nous pourrons toujours faire passer une circonférence par les trois sommets B, A, D, et je dis qu’elle passera aussi par le quatrième C. En effet, les angles A et C étant supplémentaires, leur somme doit avoir pour mesure la moitié de la circonférence. Mais l’angle inscrit A a pour mesure la moitié de l’arc DMB: donc l’angle C doit avoir pour mesure la moitié de l’arc concave restant DAB compris entre ses côtés (aucun des angles A et C n’est rentrant (144), puisque leur somme vaut deux droits) ; donc son sommet est situé sur la circonférence B AD MB (125); donc le quadrilatère est inscriptiblc.

190. Corollaire i. Le rectangle et le carré sont inscriptibles. Cela résulte d'ailleurs des n°* 186 et 187, ou encore du n° 125.

191. Corollaire ii. Le parallélogramme et la losange ne sont pas inscriplib/es : car alors la somme de leurs angles opposés serait égale à deux droits ; donc ces angles seraient droits, puisque, d’ailleurs, ils sont égaux (176 et 184 ; donc, au lieu d’un parallélogramme ou d’une losange, on aurait un rectangle ou un carré.

Tuéorème VII.

Fig. 75 1 92. Dans tout quadrilatère ABCD circonscrit

et '6. fin cercle, la somme de deux côtés opposés A B et C 1) est égale à celle des deux autres 15 C et AI) ; et réciproquement , tout quadrilatère est convexe circonscriptible , lorsque la somme de deux côtés opposés est égale h celle des deux autres.

1 ° Soient F, G , I , K , les points de contact des côtés du quadrilatère avec la circonférence, on a évidemment

AB = AF + FB = AK + BG (137); et CD = CI d= II) = CGdtDK;

En ajoutant ces deux égalités membre à membre, il viendra