Réciproquement, si deux triangles ABC

DES TRIANGLES

A'B'C', ont deux cotes égaux chacun a chacun,

AB = AB, et AC = A'C', et que le troisième coté BC du premier soit plus grand que le troisième coté B'C' du second, l'angle A, opposé au troisième coté du premier triangle, surpassera son correspondant A' dans le second.

Cette réciproque se démontrera d’après le principe que nous avons établi au n° 95, en s’appuyant sur les théorèmes des n°* 159 et 165.

Théorème VIII.

167. Deux triangles ABC, A'B'C', sont égaux Fig. 65. lorsqu’ils ont leurs trois cotés égaux chacun h chacun , AB = A'B', AC = A'C', et BC = B'C'.

Il suffit, pour démontrer cette proposition, de faire voir que l’angle A, par exemple, est égal h son homologue A' : car alors les deux triangles auront un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun , et seront par conséquent égaux. Or, si l’angle A n’est pas égal à l’angle A', il sera plus grand ou plus petit que lui; si A est plus grand que A', comme les côtés qui le comprennent sont respectivement égaux à ceux de A', on devra en conclure que BC est plus grand que B'C' (165), ce qui est contraire à l’hypothèse. Donc l’angle A n’est pas plus grand que A'. On prouverait de même qu’il n’est pas plus petit que A' : donc il lui est égal; donc les triangles A'B'C' et ABC sont égaux.

On peut donner de cette proposition la démonstration suivante, qui a l’avantage d’être indépendante des théorèmes énoncés aux n°* 159 et 165.

Plaçons le triangle A B'C' au-dessous de ABC, de manière que les deux sommets B' et C' coïncident avec leurs homologues B et C; et soit A" la position que prendra ainsi le troisième sommet A', de sorte que BA"= BA,et que CA" = CA. Chacun des points B et C sera ainsi équidistant de A et de A' ; et par conséquent, si l’on joint AA", la droite BC sera perpen-

diculairc sur le milieu de AA" (60) : donc, si l’on plie la figure le long de B C, AI se rabattra sur IA" (56), et le point A sur le point A"; donc les deux triangles ABC et A'BC se recouvriront parfaitement; donc ils sont égaux. Mais BC A" n’est autre que A'B'C' : donc ABC = A'B'C/.

168. Corollaire. Quand deux triangles sont égaux comme ayant leurs trois cotés égaux chacun à chacun , on doit en conclure que leurs angles homologues sont égaux.

169. Scholie. Il suit de ce qui précède qu’il y a trois cas dans lesquels deux triangles sont égaux : ce sont ceux énoncés aux n 05 159,161 et 167 , et, dans chaque cas, on conclut de leur égalité que les parties homologues de ces triangles sont égales. Par conséquent, lorsque ion voudra établir l'égalité de deux angles ou de deux droites, il sujjira de vérifier que ces angles ou ces droites sont des parties homologues de triangles égaux.

Théorème IX.

170. Deux triangles rectangles sont égaux lorsqu'ils ont i hypoténuse égale et un côté égal.

Fig. 67. Soient l’hypoténuse BC=?B'C', et le côté AC=A'C/. Je porte le triangle A'B'C' sur ABC, en posaut les points A' et C' sur leurs homologues A et C , de sorte que A'C' coïncidera avec AC : alors A B' tombera sur AB (57), et le point B' se trouvera quelque part sur AB. De cette manière nous aurons du même côté de la perpendiculaire CA, et à partir du même point C, deux obliques égales CB et C B' sur AB : donc elles devront coïncider : donc les triangles ABC et ABC/ so recouvrent parfaitement; donc ils sont égaux.

DES QUADRILATÈRES

w^v\«v\«v%%v»n »«%v^vvv\ k%% *■%■%, »W