AB + D'C' = BC' + AD

Mais, par hypothèse,

AB + DC = BC + AD; donc on aura, en retranchant ces deux égalités membre à membre ,

DC — D'C' = DD' + CC, ou bien, en ajoutant D'C' de part et d’autre,

DC = DD' + D'C' + CC', ce qui est évidemment absurde. Donc 01 n’est pas différent de O F ; donc O I = U F ; donc la circonférence IGF est tangente aux quatre cotés du quadrilatère.

193. CoftüLLAiRK. La losange et le carré sont circonscriptibles au cercle ; mais le parallélogramme et le rectangle ne le sont pas.

194. Sciiolie. Il suit des n“* 189 et 192 (pic la losange et le rectangle ne sont pas en même temps inscriptibles et circouscriptihles au cercle, mais que le carré jouit de cette propriété.

On peut se demander s’il y a des quadrilatères autres que le carré qui soient à la fois inscriptibles et circouscriptihles au cercle. Pour répondre à cette question , j’inscris un quadrilatère quelconque ABCD dans Fig. 77. un cercle; puis, ayant divisé deux de ses angles adjacents A et B chacun en deux parties égales par les droites AI et BI, j’abaisse de leur point de section I les perpendiculaires IP et IK. sur les côtés respectifs A B et CD. La première IP mesurera la distance du point I aux trois côtés AB, AD et BC (140) : donc, si l’on prend IQ = IP et que par le point Q on mène C D' parallèle à CD, le quadrilatère ABC'D' sera circonscrit à la circonférence décrite du point I comme centre avec le rayon IP. 3e dis qu’il est aussi inscriptiblc (189) : car l’angle C', par exemple., étant égal à son correspondant C, est par conséquent le supplément de sou opposé A.