CHAPITRE III

Théorème I.

193. La somme des angles intérieurs de tout polygone est égale a autant de fois deux droits qu’il a de cotés moins deux.

Fig. 60. 1° Soit ABCDEF un polygone convexe quel-

conque. Si du sommet de l’angle À on mène des diagonales aux sommets de tous les angles non adjacents à celui-ci, on partagera le polygone ABCDEF en autant de triangles qu’il a de côtés moins deux : car les deux triangles extrêmes ABC et AFE comprennent chacun deux côtés du polygone, tandis que les triangles intermédiaires n’en contiennent qu’un seul. Or la somme des angles de chaque triangle vaut deux droits : donc la somme des angles de tous les triangles vaut autant de fois deux droits qu’il y a de triangles, c’est-à-dire qu’il y a de côtés moins deux dans le polygone. Mais la somme des angles de tous les triangles est évidemment égale à celle des angles du polygone : donc enfin la somme des angles d’un polygone convexe quelconque est égale à autant de fois deux droits qu’il a de côtés moins deux.

Fig. 78. * 2° Soit un polygone concave ABCDEFGIK. Joi-

gnons AI, GE, EC, et nous formerons ainsi le polygone convexe ABCEGIÀ, dont la somme des augles sera égale à autant de fois deux droits qu’il a de côtés moins deux. Or, il est clair qu’en partant de ce polygone on reproduira le proposé si l’on substitue aux droites AI, GE, EC, les brisées AKI,GFE, EDC. Examinons donc de combien variera la somme de ses angles par chacune de ces substitutions, et commençons par la première : or, en remplaçant le côté AI

par la brisée AKI, nous diminuerons la somme des angles du polygone ABCEGIA des deux angles RAI et Kl A, puisque nous substituons les angles BAR et GIR aux angles BAI et GIA; mais nous l’augmenterons aussi de l’angle rentrant K, c’est-à-dire de quatre droits moins AKI : donc la somme des angles du polygone est augmentée de quatre droits et diminuée des trois angles RAI, KIA, AKI, c’est-à-dire diminuée de deux droits ( 148 ); donc elle est augmentée de deux droits; donc la somme des angles du nouveau polygone ABCEGIKA surpasse celle des angles du polygone primitif ABCEGIA de deux droits; mais il a aussi un côté de plus; donc la somme des angles du polygone ABCEGIKA est encore égale à autant de fois deux droits qu’il a de côtés moins deux, et, comme on pourra répéter, pourlesautres angles rentrants F et D , le même raisonnement que nous venons de faire pour l’angle R, le théorème est ainsi démontré.

Il pourrait arriver que les trois points A, I, G, fus- Fig. 79. sent en ligne droite. Alors, en substituant la brisée AKI à la droite AI, on augmenterait le nombre des côtés du polygone de deux unités, mais aussi la somme de scs angles augmenterait de quatre droits. En effet, en remplaçant la droite AI par la brisée ARI, on diminue la somme des angles du polygone ABC EGA de r angle K AI, mais on l’augmente des nouveaux angles K et GIR;. or ce dernier, étant extérieur au triangle AKI, vaut la somme des deux intérieurs opposés K AI et ARI (loO) : donc la somme des angles du polygone augmente de K-f-KAI -f- AKI, et diminue de K AI; donc elle augmente de K + ART, c’est-à-dire de quatre droits, mais aussi le nombre des côtés a augmenté de deux unités.

Enfin il pourrait encore se faire que la droite AI, Fig. 80. prolongée, traversât le polygone, de sorte que le polygone ABCEGIA serait lui-même concave, comme on le voit dans la figure. Alors on joindrait AG, et l’on partirait du polygone convexe ABCEGA; puis,

cil substituant (l’abord la brisée AIG à la droite AG,

et ensuite AK.I à AI, on reviendrait au polygone

primitif.

196. Scholie. Le théorème que nous venons de démontrer peut encore s’énoncer ainsi qu’il suit :

La somme des angles intérieurs de tout polygone, est égale a autant de fois deux droits qu’il a de côtés, moins quatre droits : car, en répétant deux droits autant de fois qu’il y a de côtés moins deux , il s’en faut évidemment de deux fois deux droits ou de quatre droits que l'on n’obtienne autant de fois deux droits qu’il y a de côtés. Au reste, on serait conduit directement à cet énoncé pour un polygone convexe en le décomposant en triangles par des diagonales parties d’un point pris dans l’intérieur de ce polygone.

Théorème II.

197. Si ion prolonge tous les côtés d’un poly- Fig. 81 .gone convexe quelconque ABCDE dans le meme

sens, c’est-à-dire dans le sens même où nous avons ainsi nommé scs côtés, la somme de tous les angles extérieurs (1 60) B BC, C CD, D'DE, etc. , est égale a quatre droits.

En effet, chaque angle intérieur, tel que ABC, réuni à son extérieur adjacent BBC, vaut deux droits: donc la somme de tous les angles tant intérieurs qu’extérieurs du polygone est égale à autant de fois deux droits qu’il a de côtés; si donc on en retranche la somme des angles intérieurs, qui vaut autant de fois deux droits qu’il y a de côtés, moinsquatre droits(196j, il restera évidemment quatre droits pour la somme des angles extérieurs.

Théorème III.

*190. Si ion prolonge dans le meme sens tous les Fig. 82. côtés d’un polygone concave quelconque AlîCD EE, la différence entre la somme des angles extérieurs des

angles saillants et celle des angles extérieurs des an g/es rentrants est égale à quatre droits.

En effet, chaque angle saillant, tel que ABC, augmenté de son extérieur B BC, vaut deux droits; et chaque angle rentrant, tel que C, diminué de son extérieur C'CD, vaut aussi deux droits : donc, si à la somme de tous les angles intérieurs du polygone on ajoute la somme des angles extérieurs des angles saillants, et que l’on en retranche la somme des angles extérieurs des angles rentrants, on trouvera autant de fois deux droits qu’il y a de côtés. Par conséquent, si l’on retranche de cette quantité la somme de tous les angles intérieurs, c’est-à-dire autant de fois deux droits qu’il y a de côtés, moins quatre droits, le reste, quatre droits , exprimera l’excès de la somme des angles extérieurs des angles saillants sur celle des angles extérieurs des angles rentrants, et c’est précisément là ce qu’on voulait démontrer ( , 'l.

109. Scholie. Ainsi la diversité infinie que le caprice peut mettre dans la forme des polygones n’empêche pas que leurs angles intérieurs ou extérieurs ne soient assujettis à une relation constante.

Théorème IV.

200. Deux polygones quelconques sont égaux lorsque tous leurs côtés , a l'exception d’un seul, sont égaux chacun à chacun, et que les angles compris entre les côtés égaux sont aussi égaux chacun à chacun.

(') Remarquons encore que, si l’on convient île regarder comme négatifs les angles extérieurs des angles rentrants, et les autres comme positifs, ce qui est conforme au principe de l’application de l'algèbre à la géométrie cité dans la note (') (In n° 119, car ces angles sont dans des positions directement contraires par rapport à l’angle du polygone , on pourra comprendre les deux théorèmes desn 0 ’ 197 et 198 dans un même énoncé, en disant que,

Si l'on prolonge tous les cAtés d’un polygone quelconque dans te même sens , la somme ALGKinuQiîy. tic ses angles extérieurs sera égale à quatre droits.

Fig. 83. Supposons, en effet, que daus les deux polygones ABCDE, A'B'C'D'E', on ait AB = A'B', BC = B'C', CD = C'D', DE = D'E', et que les angles B, C,D, soient respectivement égaux aux angles B , C', D'. Je porte le second polygone sur le premier, en posant les points A' et B' sur leurs homologues A et B : de cette manière le coté A' B' coïncidera avec AB; et, comme l’angle B' = B, le côté B' C' prendra la direction BC. Mais B C' = BC : donc le point C' tombera sur C. Or l’angle C = C : ainsi le côté C D' prendra la direction Cl); et, comme C' D'=CD, le point D' tombera surD. On verra de même que E' tombera sur E , et qu’en conséquence les deux côtés A' E' et A E coïncideront, puisque leurs extrémités seront confondues. Donc les deux polygones sont égaux.

Théorème V.

201. Deux polygones sont égaux lorsqu’ils ont tous leurs angles , h V exception d’un seul , égaux chacun a chacun, et que les côtés adjacents aux angles égaux sont aussi égaux chacun h chacun.

Ce théorème se démontrerait comme le précédent en superposant les deux polygones.

202. Corollaire. Deux parallélogrammes sont égaux lorsqu’ils ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun (181).

205. 11 y a plusieurs autres cas d’égalité de deux polygones; mais, comme ils sont peu importants, nous ne nous arrêterons pas à les énumérer. Nous observerons seulement que si, dans la suite, on a besoin de prouver l’égalité de deux polygones qui ne satisferaient pas aux conditions énoncées aux n os 200 et 201 , on devra les superposer, et, s’ils coïncident parfaitement, en conclure qu’ils sont effectivement égaux.

204 Scholie. Il suit des deux théorèmes précédents qu’un polygone est déterminé quand on connaît, 1° tous ses côtés à l’exception d’un seul, ainsi que les angles compris entre chacun de ces côtés et le suivant; 2° tous

ses angles moins un, ainsi que tous les côtés qui leur sont respectivement adjacents. Observons d’ailleurs que lorsqu’on a tous les angles, moins un, d’un polygone, ce dernier est connu (19IÎ).

On voit que le nombre des données nécessaires dans ces deux cas à la détermination d’un polygone de n côtés est « — 1 + n — 2 = 2 n — 3. Mais il faut dire encore entre quels côtés les angles donnés sont compris, ou à quels angles les côtés donnés sont adjacents. Ainsi un pentagone ne serait pas déterminé par la connaissance seule des quatre côtés a, b, c, d, et des angles (3, y, J; mais si l’on ajoute que (3 est compris entre a et b , y entre b et c , et ô entre c et d , on pourra construire le polygone. Pour cela, à l’extrémité II d’une droite Fig. 81. AB = «, on fera un angle A B C = |3 , on prendra BC = b; puis au point C on fera un angle BCD = y, on prendra CD — c ; ensuite on fera au point D un angle CDE=d, et l’on prendra DE=</; en joignant enfin EA, le polygone sera construit.