ACDB est une ligne brisée, et AMB est une ligne courbe

14. Il est évident que l’on peut mener d’un point a un autre une. infinité de lignes courbes ou brisées.

13. Il suit des définitions mêmes du point et de la ligne (3 et 4) que l’on peut regarder une. ligne comme engendrée par le. mouvement d'un point, et une surface par le mouvement d’une ligne.

16. De même qu’il y a des lignes droites et des lignes courbes, de même il y a aussi des surfaces planes et des surfaces courbes.

I.A SURFACE PLANE OU LE PLAN CSt UIIC SUtfaCC telle , que , si l’on joint deux quelconques de ses points par une ligne droite , cette droite est tout entière sur la surface. Il suit de là que, pour vérifier si une portion de surface est plane, il n’y a qu’à lui appliquer l’arête d'une règle bien dressée, et voir si, dans chaque position , la règle coïncide exactement avec la surface.

1 7 . Une surface courbe est celle qui n 'est ni plane ni composée de surfaces planes.

Théorème II.

18. Trois points qui ne sont pas situés en ligne droite déterminent un plan, c'est-à-dire qu'oji peut toujours faire passer un plan par ces l/vis points , mais qu'on ne peut en faire passer qu'un.

Soient A, B, C ces trois points. Joignons-cn deux Fig. 3. quelconques, A et B, par exemple, par une ligne droite.

On pourra évidemment (16) faire passer un plan par la droite A B, et si l’on conçoit que ce plan tourne autour de cette droite, il viendra bientôt s’appuyer sur le point C : donc déjà on peut faire passer un plan par les trois points A , B, C.

Je dis maintenant que l’on n’en pourra faire passer qu’un seul. Supposons , en effet, que l’on puisse mener un second plan par les trois points A, B, C, et joignons AC. 11 suit de la définition du plan que les deux droites indéfinies A B et AC seront tout entières dans chacun des deux plans. Cela posé, tirons une ligne droite MN par un point quelconque M du second plan et un point quelconque N de AC, qui soit situé de l’autre côté de AB par rapport au point M; cette droite M N coupera nécessairement AB; donc elle aura deux points dans chaque plan, et par conséquent elle y sera tout entière. Donc tout point M du second plan est en même temps dans le premier; donc ces deux plans coïncident; donc trois points non en ligne droite déterminent un plan.

Théorème III.