BR.CR. = FR. AR, DP.EP = CP.BP

AQ.FQ = DQ.EQ,

il viendra

LP.NQ.MR = LQ.NR.MP,

(■) Deux droites étant désignées par /net par/?, leur point d’intersection pourra l’étre par /////.

ce qui, d’après le théorème du 11 208, prouve que les trois points L, M, N sont en ligne droite.

‘ 317 . Sciiolik. Ce théorème est vrai, quelle que soit la forme de l’hexagone inscrit et lors même que ses côtés s’cntrc-croiseraient de toutes les manières possibles.

Théorème XIII.

* 318 . Dans tout hexagone circonscrit a une circonférence , les diagonales qui joignent les sommets respectivement opposés se croisent toutes trois en un meme point.

Ce théorème est une conséquence directe du précédent et du principe du n° 318 , car les deux polygones ABCDEF et abedef étant polaires-réciproqucs l’un de l’autre, les points de concours L, M et N des côtés AB et DE, BC et EF, CD et AF du premier sont les pôles des diagonales be, cf et ad qui, dans le second , joignent les sommets-pôles de ces couples de côtés. Puis donc que les trois points L, M et N sont en ligne droite, les trois diagonales be, cf et ad se croiseront au mémo point O, qui sera le pôle de cette droite ( 308 ).

Théorème XIV.

* 319 . Si Von inscrit h une circonférence un qua- Fig. 157. drilatere quelconque ABCD et qu’on lui en circonscrive un autre abcd , dont les cotés louchent cette courbe aux sommets du premier, 1° les quatre points de concours L , M , N , P des côtés opposés de ces deux quadrilatères seront tous quatre situés sur une même d/vite; 2° leurs quatre diagonales AC, BD, ac , bd se croiseront au pôle de la droite LM N P ; 3° les diagonales du quadrilatère circonscrit iront passer par les point s M et L ou se coupent les côtés opposés du quadrilatère inscrit.

Soit O le point d’intersection des deux diagonales

APPENDICE AC I.IVBE III. 151

AC et BD : la polaire de ce point sera la droite L M (303) ; elle devra donc contenir les pôles N et 1‘ de ces diagonales, donc les quatre points L, M, N, P sont situés sur une même ligne droite.

Les deux quadrilatères étant polaires -réciproques, les points L et M sont les pôles des diagonales rtc et bd , puis donc que les quatre points L, M, N, P sont rangés en ligne droite, leurs polaires etc, bd, AC, BD iront se croiserai! pôle de celte droite.

Enfin, OM est la polaire de L (303) et ne l’est aussi ; donc la droite ac va passer par le point M. Par une raison semblable, bd va passer par le point L.