GP'. GO'=GP.GO = =ÂG

Donc O' est le pôle de OP', et ainsi le pôle de toute droite menée par un point donné est situé sur la polaire de ce point, ce qui démontre notre théorème.

* 313. Corollaire i. La droite qui joint les pôles de deux droites est la polaire de leur point d’intersection , car le pôle de cette droite doit se trouver à la fois sur les deux droites dont il s’agit.

1 ig. 154. * 314. Corollaire ii. Si les cordes de contact de

tant d'angles que l’on voudra , circonscrits h une circonférence , concourent en un môme point, les sommets de ces angles se trouveront sur la polaire de ce point , car ces sommets sont les pôles de ccs cordes.

* 515. 11 suit du n° 515 que si deux polygones d’un môme nombre de côtés tracés sur le plan d’une

Fig. 155, circonférence , sont tels que les sommets A,B,C,... de

APPENDICE AD LIVRE III. 149

l'un soient les pôles des côtés a , b , c... de l'autre , réciproquement les sommets a b, bc... du second (') seront les pôles des côtés AB, BC..., du premier; et de plus le point de concours de deux côtés ou de deux diagonales quelconques de chacun sera le pôle de la droite qui joindra les sommets-pôles de ces deux côtés ou de ces deux diagonales dans l’autre. Ainsi, par exemple, le point ad de concours des deux côtés a et d est le pôle de la droite AD qui joint les sommets A et D , pôles respectifs de a et de d.

A raison de ces deux propriétés corrélatives, les deux polygones sont appelés polaires-réciproques l’un de l’autre.

Théorème XII.

* 3! 6. Dans tout hexagone inscrit a une circonférence les points de concours des côtés opposés sont % tous trois situés sur une meme ligne droite.

Les côtés alternatifs IIC , DE et AF prolongés suffi- Fig- L r >G. samment forment le triangle PQR que l’on peut regarder comme coupé successivement par les directions des trois autres côtés de l’hexagone A B,* Cl) et EF; on obtiendra ainsi les égalités (287)