OK

donc, en substituant dans la proportion précédente, il viendra :

d’où l’on tire :

Supposons a=3 d- “ 1 , etR=4 d,n , et cherchons la valeur de x a moins d’un cinquième de décimètre. On aura :

2R — 8 dm , et partant x— — - '■■** - — or, ou

peut regarder cette fraction comme la racine carrée do son carré, c’est-à-dire de |A*; donc il ne s’agira plus, pour résoudre la question , que d’appliquer à la fraction ^ =èiJA la règle donnée au n° 1115 de l’Arith. , et l’on trouvera ainsi que x = ~ d n * = 3 dJ “, 2.

Remarquons que la valeur (1) de x est calculable par logarithmes : car la quantité 4 R’ — «*, étant la différence des carrés des quantités 2 R et a, est, comme on le démontre dans l’algèbre, égale à la somme (2R + ci) de ces quantités, multipliée par leur différence (2R — ci). Ou a donc :

et par conséquent (Arithmétique, n“ 252, 255 et 255)

(*) Pour calculer i apothème (l'un polygone régulier, retranchez

le carré de son côté du carré du diamètre cl prenez la moitié de la racine carrée du reste.

320. Corollaire. Réciproquement, si l’on donnait le polygone: circonscrit, et que l’on proposât d’inscrire au même cercle un polygone régulier du même nombre de côtes, on pourrait y parvenir en menant, du centre, des droites à tous les sommets du polygone circonscrit, et en joignant ensuite deux à deux les points où ces droites couperaient la circonférence. On pourrait encore joindre les points de contact deux à deux, et le polygone ainsi formé serait régulier : car, chacun des côtés A' IV,

B' G' étant divisé en deux parties égales au point

de contact (321 ), tous les triangles A'A B , B'BC

sont égaux (139), et, par conséquent, les côtés AB, BC sont égaux ; donc le polygone est régulier (320).

Problème II.

Fig. 158

329. Un polygone régulier étant inscrit dans un cercle , on propose, 1° a inscrire dans ce cercle un polygone régulier qui ait deux fois plus de côtés que lui ;\ 2° de calculer le côté du nouveau polygone en fonction du côté du premier , et du rayon de la circonférence.

1° Abaissez du centre O des perpendiculaires sur tous les côtés du polygone donné, et joignez chaque point de division avec les extrémités du côté correspondant, et le problème sera résolu.

2° Soient AB le côté du polygone inscrit, et OI perpendiculaire sur AB: AI sera donc le côté du polygone inscrit de deux fois plus de côtés. Désignons les longueurs de AB et de AI respectivement par a et par y } et toujours par R celle du rayon.

En appliquant le théorème du n° 238 au triangle ADI, il viendra

Xï‘*=ÔÂ*+ÔP.- 201. OK,

ou, en remplaçant AI et OA, respectivement, par y

et par R, et O K par sa valeur

que nous

avons trouvée tout à l’heure (327),

jr’-2R* — R V 411* — a']

UES i’OLYGOXES RÉGULIERS, on aura donc enfin

y — V 11 (2R — V 4 lt* — a ') ,

en mettant R en facteur commun , et extrayant la racine carrée du deuxième membre.

Supposons, par exemple, que R=3 J m , ct«=2' l m , et ^cherchons la valeur de y a moins d’vx dixième près.

On aura d’abord , en remplaçant , ^- = \/ 3 (G — V 32). Maintenant, pour avoir l’approximation demandée, on devra multiplier la quantité 3(6 — l/32), par 100 (Aritb., n° 17«î), ce qui donnera 300(6 — = 1800 — 300.1^32 = 1800 — 1/2880000 : car, puisqu’on peut extraire la racine carrée d’un produit en extrayant la racine decbaque facteur et en multipliant! ces racines entre elles, on voit que 300. V 32= V 3U0\32= V 2880000, La racine carrée de 2880000 est, en plus , et à moins d’une unité près 1698. Je retranche ce nombre de 1800, et je trouve que la racine du plus grand carré contenu dans le reste 1 02 est 10. Telle est la racine carrée de la quantité 1 800 — V 2880000 à moins d’une unité : carie carré de 1 1 , surpassant 1 02 au moins d’une unité, est par conséquent plus grand que 1800 — ^2880000, tandis que celui de 1 0 est au contraire plus petit qu’elle; donc, enfin la valeur demandée de y sera

530. Scholik i. Dans le calcul de la valeur d ey rien n’exprime que AB soit le côté d’un polygone régulier: ainsi la formule que nous venons de trouver résout ce

(') Los élèves , qui connaisssent la formule par laquelle on tâche, en algèbre , d’obtenir la racine carrée d'une quantité qui est en partie commensurable cl en partie incommensurable du deuxième degré, au moyen de deux racines carrées indépendantes l’une de l'autre, trouveront, en appliquant celte formule au calcul de la valeur dey, que

équation dont chaque terme est calculable par logarithmes.

\ problème plus général : Etant donnés, le rayon d’une

circonférence cl la corde d'un arc quelconque , trouver la corde de la moitié de cet arc. Nous observerons seulement qu’il ne s’agit alors que de la corde de la moitié du plus petit des deux arcs sous-leudus par la corde donnée a. S’il s’agissait de l’autre, la valeur de/ serait alors

car, dans le triangle obtusangle A 01', on a

Â7’ = ÂÜ’ + üP+201'.OK.

331. Scholje il. Si l’on veut circonscrire au cercle un polygone régulier qui ait deux fois plus de côtés

Fig. 161. que le polygone inscrit ABC, on mènera d’abord des tangentes à chaque sommet du polygone inscrit; puis on joindra les sommets A', B', C', du polygone circonscrit ainsi formé, avec le centre par des droites; et aux points P, Q,R, où elles couperont la circonférence, on mènera des tangentes. Le nouveau polygone DEFGIK. sera régulier (527, 2' solution), car les points de contact de tous ses côtés divisent la circonférence en parties égales.

552. Sciiolie in. Remarquons enfin que les contours de deux polygones réguliers, inscrit et circonscrit, sont respectivement moindre et plus grand que ceux des polygones inscrit et circonscrit qui ont deux fois plus cîe côtés : car, dans le premier cas, chaque droite AB est moindre que la brisée APB, et, dans le second , chaque brisée A C'B est plus longue que la brisée ADEB.

Problème III.