AB=R

Donc le côté du carré inscrit est égal au rayon multiplié par la racine carrée de deux.

53a. Corollaire t. Il suit de là que le rapport du côté du carré inscrit au rayon , ou de la diagonale d’un carré au côté de ce carré (AB est la diagonale du carré construit sur AO), est égal h la racine carrée de deux , de sorte que ce rapport est incommensurable (Arith. , n° 106). C’est, au reste, ce que l’on trouve en cherchant la commune mesuré des droites AB et AO (24).

Eu effet, si du point B comme centre, et avec AO pour rayon, on décrit une circonférence, on aura (229): AF: AO:: AO: AI.

Ainsi Al< AO; donc AB contient une fois AO, avec le reste AI.

Il faut donc chercher combien de fois A I est contenu dans AO, ou, ce qui revient au même, combien de fois AO est contenu dans AF ; car la proportion ci-dessus exprime que le rapport . Or, AF = 2AO + AI;

donc le rapport c’est-à-dire-^ est égal à 2 + ^;

de sorte que nous voilà de nouveau ramenés à chercher combien de fois Al est contenu dans AO, d’où l’on voit que l’opération ne pourra jamais se terminer, et qu’ainsi il n’y a pas de commune mesure entre le côté du carré inscrit et le rayon (‘).

( 1 ) Si l'on développe ce rapport de A B à A O en fraction con-

356 . Corollaire h. On voit que si le rayon du cercle était égal à l’unité linéaire, le côté du carré inscrit serait égal à la racine carrée de 2. Ainsi la géométrie fournit un procédé rigoureux pour obtenir exactement la grandeur de l’irrationnelle y/‘2 . Il en est de même de la racine carrée de tout nombre n qui n’est pas un carré parfait; car cette racine est une moyenne proportionnelle entre *l’unité linéaire et la droite qui contiendrait n fois cette unité ( Arithmétique, n° 224 ). Observons toutefois qu’il faudrait, pour cela, pouvoir tracer de véritables lignes sur une surface véritablement plane, de sorte que cette exactitude n’est qu’intellectuelle. Aussi , si, ayant exécuté, par exemple, l’inscription d’un carré dans un cercle décrit avec l’unité linéaire pour rayon , on porte son côte sur une échelle, on obtiendra une valeur de V 2 bien moins approchée que celle fournie par le calcul.

Problème IV.