B O : C O ;; CO:BC

On voit donc que le rayon BO est partagé, au point C, en moyenne et extrême raison (277), et que AB est égal au plus grand de ses deux segments : donc, pour inscrire un décagone régulier dans un cercle, on partagera le rayon en moyenne et extrême raison ,

et l'on portera le plus grand segment dix fois sur la circonférence.

Exécutons cette construction. Pour cela, je trace deux diamètres à angles droits AF et G FI ; du point G Fig. 165. comme centre, avec le rayon de la circonférence, je décris deux arcs qui coupent cette circonférence en M et en N, je joins MN, et cette droite est perpendiculaire sur le milieu de GO (60); je tire IA, puis du point I comme centre je décris l’arc O K.; et la droite AK, égale au plus grand segment du rayon OA divisé en moyenne et extrême raison (277), est le côté du décagone inscrit. Si donc on veut calculer ce côté, il faudra trouver la valeur de AK. Or A K = A I — IK: mais dans le triangle rectangle AIO nous connaissons

les deux côtés de l’angle droit OA = R, et OI=^:

donc

d’ailleurs I K = I O = : donc, enfin,

* ir R.V'IT R R.'PlS — R

et, comme on peut regarder R.V/5 — R comme le produit de R par (\/ 5 — 1 ), on aura en définitive: AK R|/5— 1).

d’où l’on voit que, pour calculer le coté du décagone régulier inscrit dans une circonférence dont le rayon est donné , il faut multiplier le rayon par l'excès de la racine carrée de 5 sur l'unité , et diviser le produit par 2.

542. Corollaire i. Si l’on joint les sommets du décagone de deux en deux, on formera un pentagone régulier.

* Nous allons nous proposer de calculer le côté de Fig. 1GC. ce polygone. Soient AB et BC deux côtés consécutifs du

décagone régulier , de sorte que A C sera le côté du pentagone, je joins AD et je forme ainsi un triangle A BD semblable à ABF (253, 1°); la comparaison de leurs côtés homologues fournit la proportion AF : AD :: A B : BD,

ou bien en remplaçant AF, AB et BD par leurs longueurs que je désignerai respectivement par^ , « et 2 B,

d’où

a . AD X ~ il

Or, le triangle rectangle AB D nous donne

AD = \/4R’— a* et, par conséquent,

«.l/4 R*— a* l /a* (4 It* — a*)

Mais a désignant le côté du décagone régulier, on a

d’où

par suite

r, (6-2/5) R»(iG— ü+lVH) R‘(1 0+2/5) 4 4 4

En substituant ces valeurs de a’ et (4R“ — a*) dans celle de x , il viendra

y/» 4 (6 — 2 V/jT) (10 + 21 / 5 ) R • t/ 1 0 — 2 v/iii

Si au carré du côté du décagone régulier, on ajoute le carré du rayon, on trouvera

c’est donc à dire que le carré du côté du pentagone régulier inscrit dans un cercle est égal à la somme des carrés du rayon de ce cercle et du côté du décagone régulier inscrit.