FI F K

ce qu’il fallait démontrer (‘).

( ' ) Portons la hauteur K F du second rectangle sur celle AD du Fig. 171. premier autant de fois que la chose sera possible. Nous trouverons qu’elle y est contenue deux fois avec le reste OD, de sorte que

AD = 2KF-f-OD.

Mais si par les points de division M et O nous menons des parallèles à AB, cous formerons les rectangles AN et MP respectivement égaux à F I : car il est évident que ces trois rectangles sont superposables; donc

AC = 2FI-f-OC.

On voit donc que le rectangle AC contient le rectangle FI autant de fois que la hauteur AD contient la hauteur FK, et que le rectangle restant OC a pour hauteur le reste OD. Par

360. Scholie. On peut dire aussi que deux rectangles de même hauteur sont proportionnels à leurs bases : car les noms de base et de hauteur s’appliquent indifféremment à chacun des deux côtés contigus d’un rectangle.

Théorème II.

561. Les aires de deux rectangles quelconques sont proportionnelles aux produits de leurs bases par leurs hauteurs ; c’est-à-dire aux produits des nombres abstraits qui expriment les longueurs respectives de ces lignes.

Soient R et R' les aires des deux rectangles proposés; b et h, b' et h', les longueurs de leurs bases et leurs hauteurs respectives. Construisons un troisième rectangle R" qui ait même base b que le premier, et même hauteur h' que le second. Alors, si nous le comparons successivement aux rectangles R et R', nous aurons, d’après le théorème précédent et d’après sa scholie, les proportions

conséquent, si l’on porte à sou tour OD sur FK, et que par les points de division on mène des parallèles à F G, ou verra que le rectangle F I contiendra le rectangle OC autant de fois que la hauteur F K contiendra la hauteur O D, et que le rectangle restant aura pour hauteur la partie restante de F K; et ainsi de suite, si l’on continue d’effectuer sur les hauteurs AD clFK, et sur les rectangles AC et FI, les opérations nécessaires pour trouver la commune mesure des deux premières quantités et celle des deux autres. Les deux séries de quotients que l’on trouvera ainsi seront donc les mêmes; par conséquent, si l’on développe en fraction continue le rapport des deux rectangles AC et FI et celui de leurs hauteurs ADetFK, ou trouvera la même expression ( .30 ) ; donc ces deux rapports sont égaux ; donc on a la proportion

ac : fi AD: fk,

ce qu’il fallait démontrer.

d’où, en multipliant ces deux proportions par ordre, et supprimant le facteur R" commun aux deux termes du premier rapport de la proportion-produit,

R: R ' wb.h'.V .K , ce qui démontre notre théorème (').

Tjiéorême III.

362. L'aire d'un rectangle a pour mesure le produit de sa base par sa hauteur , c’est-à-dire que le rapport de ce rectangle au carré qui a pour côté l’unité linéaire, est égal au produit des deux nombies abstraits qui expriment ies rapports respectifs de sa base et de sa hauteur à cette unité linéaire.

Désignons, en effet, par il le rectangle à mesurer; par b et par h les longueurs respectives de sa base et de sa hauteur; par Q le carré que l’on prend pour unité de superficie : la base et la hauteur de ce carré seront donc égales chacune à l’unité linéaire; donc, en vertu du théorème précédent , le rapport du rectangle R au carré Q sera égal au rapport du produit b. h au produit 1.1, c’est-à-dire à b. h; ainsi

Mais le rapport ^ est ce que nous appelons l’aire

du rectangle R (3o8) : donc cette aire est égale au produit des deux nombres abstraits qui expriment les rapports de la base et de la hauteur du rectangle à

(*) Remarquons que dans les proportions (1) on pourrait bien regarder les lettres R, R', R", comme représentant des rectangles, et b, b', h, h’ comme représentant des lignes, puisque les deux termes de chaque rapport sont alors des quantités homogènes; mais que, pour pouvoir multiplier ces proportions par ordre, il devient indispensable de regarder ces lettres comme représentant les nombres abstraits qui expriment les rapports de chacune de ces quantités à l’unité de son espèce. Il serait absurde en effet de prétendre multiplier un rectangle par un autre rectangle.

l’unitc linéaire; donc l’aire d’un rectangle est égale au produit de sa base par sa hauteur.

363- On peut rendre cette proposition évidente de la manière suivante, lorsque les dimensions des rectangles que l’on considère sont commcnsurables avec l’unité linéaire. Supposons, en effet, que la base et la •Fig. 172. hauteur du rectangle ABCD soient respectivement égales à 3 m et à 2 m Je prends, sur AB, 3 parties égales à un mètre, et, sur AD, 2 parties égales aussi à un mètre , de sorte que EB = et que

D(f = puis P ar l es points de division de la base et de la hauteur de notre rectangle, je mène des parallèles à scs côtés. Le rectangle A e vaudra 3 mètres carrés, et le rectangle E b sera les -JE d’un mètre carré (339); ainsi le rectangle A b contient S™' 11 par conséquent le rectangle A c vaut 3 m, ‘t ~ X 2. Mais le rectangle dC est les du rectangle Ab (339), et vaut ainsi 3 m q A X : donc le rectangle total vaut 3-* A X 2 + 3-1 JE x =(3A X 2 mètres carrés, c’est-à-dire le produit de sa base par sa hauteur.

Théorème IV.

364. L’aire d’un carré a pour mesure la sèconde puissance de son côté.

En elTet, le carré étant un rectangle dont les deux dimensions sont égales, son aire sera égale à la seconde puissance de l’une d’elles (').

363. Corollaire 1 . Si l’on observe que les carrés des nombres 1 , 2, 3, 4, 5. . . . sont respectivement 1, 4, 9, 16, 25. . . ., on verra que le carré construit sur

* (*) Ainsi , lorsque l’on forme la seconde puissance d’un nom-

bre , on exécute l’opération nécessaire pour évaluer l’aire du carré dont le côté contiendrait précisément ce nombre-là d’unités linéaires. C’est pour cela qu'on a appelé carré d’un nombre la seconde puissance de ce nombre.

C’est par une raison semblable que l’on emploie l’expression rectangle de deux nombres , pour désigner leur produit.

DBS AIRES DES SERF ACES PLANES. 183

une ligne double, triple, quadruple, quintuple, etc.,

d’une autre, sera 4, 9, 16, 25 fois plus grand

que celui fait sur cette autre.

Réciproquement, pour faire un carré qui soit 4,9,

16,25 fois plus petit qu’un autre, il fau-

dra le construire sur une droite qui soit 2, 3, 4,

5 fois moins grande que le côté de cet autre

carré.

366. Corollaire ii. En France , où le mètre est l’unité linéaire , l’ unité de superficie est le mètre carré. Cette unité se subdivise en cent décimètres carrés (3o8 et 364). Le décimètre carré vaut cent centimètres carrés , et le centimètre carré vaut cent millimètres carrés.

Il suit de là que , pour convertir un nombre quelconque de mètres carrés en décimètres carrés, ou en centimètres carrés, ou en millimètres carrés, il sujjit d’avancer la virgule de deux, ou de quatre , ou de six rangs vers la droite.

Exemple. Quelle est, en mètres carrés, décimètres carrés, centimètres carrés et millimètres carrés, l’aire d’un rectangle dont la base a 2 m ,36, et la hauteur

Je multiplie entre eux les deux nombres abstraits 2,36 et 1,234, ce qui donne pour produit 2,91224: ainsi l’aire demandée égale 2"' -< i,91224, c’est-à-dire deux mètres carrés quatre-vingt-onze mille deux cent vingt-quatre cent-millièmes de mètre carré, ou

2 mètres carrés 91 décimètres carrés 22 centimètres carrés et 40 millimètres carrés.

Autrefois l’unité linéaire était la toise de Paris, dont le rapport au mètre est à peu près 1,94904. Elle se subdivisait en 6 pieds, le pied en 12 pouces, et le pouce en 12 lignes. En conséquence, l’unité de surface était la toise carrée, laquelle valait 36 pieds carres (564). Le pied carré se composait de 1 44 pouces carrés , et le pouce carré de 1 44 lignes