CARRÉES

Lorsque les dimensions d’un rectangle sont évaluées en toises et fractions de toise, ce qu’il y a de mieux à faire, c’est de convertir chacune en unités du dernier ordre. Par exemple, si la base d’un rectangle est de 9' 5 P 7 P , et sa hauteur de 3‘ 4 P , on prendra le pouce pour unité linéaire, et par conséquent le pouce carré pour unité superficielle; on convertira la base et la hauteur en pouces; et, en multipliant entre eux les deux nombres ainsi trouvés, 715 et 2G4, on verra que l’aire de notre rectangle est 188760 pouces carrés; et, comme 1 p,q = 144 pq , on convertira cette aire en pieds carrés en divisant 188760 par 144, ce qui donnera 1310 p,q + 120 p,q . Mais la toise carrée vaut 36 p - q : donc, en divisant 1310 par 36, on saura combien il y a de toises carrées dans notre rectangle. En effectuant cette division, on trouvera pour sa mesure 36 l,q + 14 Pq + 120 pq .

Théorème V.

Fig. 173. 567 . Deux parallélogrammes AC et AF afr même

base AB et de même hauteur FE sont équivalents .

Puisque les deux parallélogrammes AC et AF ont la même base inférieure AB et la même hauteur FE, leurs bases supérieures DC et GF doivent se trouver sur une même ligne droite GFDC (67).

Cela posé, les triangles GAD et FBC ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun , car GA == F B comme côtés opposés d’un même parallélogramme AF; par la même raison, AD = BC; de plus l’angle GAD est égal à FBC, puisque ces angles ont leurs côtés parallèles et dirigés dans le même sens : donc le triangle GAD est égal au triangle FBC. Mais si l’on retranche le premier du trapèze ABCG, il reste le parallélogramme AC; et si l’on retranche le second triangle FBC du même trapèze, il reste le parallélogramme AF; donc ces deux parallélogrammes sont équivalents; car il est évident que si d’une même figure on retranche des surfaces égales , les figures restantes

auront tics surfaces égales, et seront par conséquent équivalentes (147).

368. Corollaire. L'aire d’un parallélogramme est égale au produit de sa base par sa hauteur.

En effet, tout parallélogramme est équivalent à un rectangle de même base et de même hauteur (367) : donc l’aire du parallélogramme est égale au produit de sa base par sa hauteur (362).

Théorème VI.

369. Tout triangle est la moitié d’un parallélogramme de même base et de même hauteur que lui.

Eu effet, si nous menons par les sommets des an- Fig. 70. gles B et C du triangle ABC des parallèles BD et CD aux côtés qui leur sont opposés, nous formerons un parallélogramme ABCD de même base et de même hauteur que ce triangle, et sa diagonale BC le décompose en deux triangles égaux (174).

570. Corollaire i. L’ aire d' un triangle est égale a la moitié du produit de sa base par sa hauteur (367).

371. Corollaire ii. Les aires de deux triangles quelconques sont entre elles comme les produits de leurs bases par leurs hauteurs, et par conséquent comme leurs bases, si ces triangles ont même hauteur, ou comme leurs hauteurs, s’ils ont même base.

Théorème VII.

372. L’aire d’un triangle est égale a la racine carrée du produit qu’on obtient en multipliant son demi-périmètre successivement par l’excès de ce demipérimètre sur chacun des cotés.

Soit A BC le triangle proposé. Désignons par a, b, c, p|g, no. les longueurs respectives des côtés BC, AC et AB; et par h celle de sa hauteur AI. Il est clair que si l’on connaissait l’un des segments de la base, BI, par exemple, on pourrait, au moyen du théorème de Pythagore (233,4 e ), calculer cette hauteur, et obtenir ainsi

l’aire de notre triangle. Or, on sait que dans tout triangle le carré du côté opposé à un angle aigu est égal à la somme des carrés des deux autres diminuée du double produit de l’un de ces deux côtés par la projection de l’autre sur lui (238). Puis donc que BI est la projection du côté AB sur BC, nous aurons:

ÂC* = ÂB’ + BC* — 2 BC.B I , ou b' = c a + rz’ — 2ns.BI.

b * étant ainsi l’excès de c* -f- a ' sur 2n:.BI, on aura la valeur de cette quantité en retranchant b ’ dec’ + rt*, de sorte que

Cette égalité exprime que c’ + a 1 — b ’ est le produit de 2 a par BI : donc , en le divisant par le facteur 2a, on aura l’autre facteur BI; ainsi

Nous connaissons donc maintenant , dans le triangle rectangle ABI, l’hypoténuse AB et le côté BI :donc, en lui appliquant le théorème de Pythagore , nous aurons :

en réduisant l’entier c’ et la fraction qui l’accompagne en une seule fraction. Or, le numérateur de cette dernière fraction est la différence des carrés de 2 ac et de (c’ + «* — b 2 ); et, comme on démontre dans l’algèbre que la différence des carrés de deux quantités est égale à la somme de ces quantités multipliée par leur différence , et que, pour soustraire une quantité d'une autre, il suffit de l’écrire à sa suite avec des signes contraires a ceux dont elle est affectée , on verra que ce numérateur revient à

(2 ac + c* + n* — b’)(2ac — c* — a * 4- b').

Mais 2 ac + c* 4 - a’ —(a + c)‘ : ainsi la quantité comprise dans la première parenthèse revient à

(rt 4- c)’ — b % c’est-à-dire à (rt + c+A)(rt -f- c — b ), puisqu’elle est la différence des carrés de (a + c) et de b. La seconde parenthèse 2 etc — c* — a' -+- b % peut être considérée comme ce qui reste, lorsque de b * on retranche a’+ c* — 2ac, c’est-à-dire le carré de (a — c) : elle est donc la différence des carrés de b et de (a— c), et revient par conséquent à

D’après ces transformations la valeur trouvée pour A* deviendra :

(fl-f i-f 0("+ ( — b)(a + b — c)(b -\-c — a)

Si l’on représente le demi-périmètre du triangle par p, et par conséquent son périmètre par 2 p , on aura:

et, en retranchant successivement 2a, 2A et 2 c de part et d’autre, il viendra :

donc, en substituant dans l’expression de A% et divisant ensuite les deux termes de la fraction par 4 ,

partant

En multipliant enfin cette quantité par on trouvera

pour expression de l’aire A d’un triangle en fonction de ses côtés :

A = V p( s p — (i){p — b){p — C) ; ce qui nous apprend que, pour calculer l'aire d'un triangle en fonction de ses cotés, il faut du demipérimètre du triangle retrancher successivement cha-

cuti île ses cotés , multiplier les trois restes entre eux et par le demi-périmètre , et extraire la racine carrée du produit.

Si l’on veut appliquer les logarithmes au calcul de la valeur de .A , on aura :

formule qu’il est également facile de traduire en langage ordinaire.

Exemple. Les trois côtés d’un triangle valent respectivement 1370”, 34; 1827“*, 12; 2283™, 9 : quelle est son aire?

Je représente ces trois côtés respectivement par a, b, c, et leur somme par 2 p, et j’exécute les calculs ci-dessous :

p = 2740, 68 L.p ss 3,4378584

Ainsi l’aire du triangle est de 1251888 m q , à moins d’un mètre carré près.

Théorème VIII.

373 . L'aire d’un triangle est égale h son périmètre multiplié par la moitié de son apothème.

Fig. 174. Si l’on joint, en effet, le centre du cercle inscrit au triangle avec ses trois sommets, on le partagera en trois autres qui auront pour bases respectives les côtés de ce triangle, et pour hauteur commune son apothème :

ainsi leurs aires seront égales à ces côtes multipliés chacun par la moitié de cet apothème. Or, dans l’addition de ces aires partielles, on pourra mettre la moitié de l’apothème en facteur commun, et l’on trouvera ainsi , pour expression de l’aire demandée, la somme des côtés du triangle, ou son périmètre par la moitié de son apothème.

Théorème IX.

374. Le produit des trois côtés d’un triangle est égal au double de son aire multiplié par le diamètre du cercle circonscrit.

Par un des sommets C du triangle menons le dia- Fig. 175. mètre CD, joignons AD, et abaissons du sommet de l’angle A la perpendiculaire AF sur le côté opposé BC.

Les deux triangles D AC, BAF, sont équianglcs; car ils sont rectangles, l’un en A, l’autre en F; et les angles D et B sont égaux comme inscrits dans le même segment CBDA : ainsi leurs côtés homologues sont proportionnels, et l’on a