Les aires de deux triangles ABC, ADF

qui ont un angle commun A, sont proportionnelles aux produits des côtés qui comprennent dans chacun l’angle commun, c’est-à-dire qu'on aura * ABC : ADF :: AB . AC : AD . AF.

Joignons, en effet, DC : les deux triangles ABC et

les dimensions des rectangles F K et C. K sont évidemment AB et BC.

185. 2° Sur AB, la plus grande des deux lignes données AB et BC, construisons le carré AD; prenons AG égal A la différence AC de ces deux lignes, et menons par les points C et G les parallèles CM et G K à A F et à A B. Enfin construisons sur F G le carré G L. La figure totale ABDL1G est la somme des carrés construits sur A B et sur B C : car FG, différence des ligues AF et A G on A B et AC, est ainsi égale à BC. Or, si l’on retranche de celte figure les deux rectangles DM et I M qui ont pour dimensions A B et B C, puisque IK = IG + GK=B(.-|- AC r A R, il restera le carré AK construit sur la différence des deux lignes A B et B C.

On a donc ( A B ± BCJ^Tb” -f ÎTc’d: 2 AB . B C , le signe supérieur se rapportant à la figure 184 et l’inférieur & la figure 185.

On peut encore démontrer de la manière suivante ce théo-

186. rème : Le rectangle A G, qui a pour base fa somme et pour' hauteur ta différence des deux lignes AB et BC, est équivalent à la différence des carrés construits sur ces deux lignes , ce qui revient à dire que la différence des carrés (le deux nombres est égide à la somme de ces nombres multipliée parleur différence.

En effet, construisez sur la plus grande des deux droites le carré A I ; puis, ayant pris B D = B C , menez DML parallèle à AK. Il est clair que MI est le carré construit sur B Cucar, comme AF est, par hypothèse, la différence des deux droites AB ctBC, et que A K est égal à Alî, il faut nécessairement que K F = B C ; or la différence des deux carrés AI et MI, construits respectivement sur AB et BC, est la Ggure ABNMLK équivalente au rectangle A G : car ces deux figures ont la partie commune A B N et les deux parties restantes M K et Pi C sont deux rectangles qui ont leurs bases et leurs hauteurs égales. Donc(AB+BC).(AB — Be^rn’ — BÜ\

AI)C, qui ont leurs bases AB et AD en ligne droite et leurs sommets au point C, ont par conséquent même hauteur, et sont ainsi entre eux comme leurs bases A B

et AD (571) : doue